Ejemplo.

Considere
dos puntos de coordenadas P1 = [3,4]T y P2 = [4,4]T.
Como lucen las curvas paramétricas
cúbicas de Hermite Considerando los siguientes
valores de sus derivadas en dichos puntos

a)       R1
= [-1, 0] y R4 =[0, -1]

b)       R1
= [-1, 1] y R4 =[0, -1]

c)       R1
= [ 0, 1] y R4 =[0, -1]

d)       R1
= [ 1, 1] y R4 =[0, -1]

e)       R1
= [ 1, 0] y R4 =[0, -1]

f)
R1 = [ 0, -1] y R4 =[0, -1]

Para este
caso la matriz de trasformación esta dada por

Para valores
de t desde 0 hasta 1 con incrementos de 0.05 tenemos la siguiente
tabulación para puntos intermedios

a

b

c

d

e

f

t

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

0.0500

2.9621

4.0024

2.9621

4.0475

3.0073

4.0475

3.0524

4.0475

3.0524

4.0024

3.0073

3.9573

0.1000

2.9470

4.0090

2.9470

4.0900

3.0280

4.0900

3.1090

4.0900

3.1090

4.0090

3.0280

3.9280

0.1500

2.9524

4.0191

2.9524

4.1275

3.0608

4.1275

3.1691

4.1275

3.1691

4.0191

3.0608

3.9108

0.2000

2.9760

4.0320

2.9760

4.1600

3.1040

4.1600

3.2320

4.1600

3.2320

4.0320

3.1040

3.9040

0.2500

3.0156

4.0469

3.0156

4.1875

3.1563

4.1875

3.2969

4.1875

3.2969

4.0469

3.1563

3.9063

0.3000

3.0690

4.0630

3.0690

4.2100

3.2160

4.2100

3.3630

4.2100

3.3630

4.0630

3.2160

3.9160

0.3500

3.1339

4.0796

3.1339

4.2275

3.2818

4.2275

3.4296

4.2275

3.4296

4.0796

3.2818

3.9318

0.4000

3.2080

4.0960

3.2080

4.2400

3.3520

4.2400

3.4960

4.2400

3.4960

4.0960

3.3520

3.9520

0.4500

3.2891

4.1114

3.2891

4.2475

3.4253

4.2475

3.5614

4.2475

3.5614

4.1114

3.4253

3.9753

0.5000

3.3750

4.1250

3.3750

4.2500

3.5000

4.2500

3.6250

4.2500

3.6250

4.1250

3.5000

4.0000

0.5500

3.4634

4.1361

3.4634

4.2475

3.5747

4.2475

3.6861

4.2475

3.6861

4.1361

3.5747

4.0248

0.6000

3.5520

4.1440

3.5520

4.2400

3.6480

4.2400

3.7440

4.2400

3.7440

4.1440

3.6480

4.0480

0.6500

3.6386

4.1479

3.6386

4.2275

3.7182

4.2275

3.7979

4.2275

3.7979

4.1479

3.7182

4.0682

0.7000

3.7210

4.1470

3.7210

4.2100

3.7840

4.2100

3.8470

4.2100

3.8470

4.1470

3.7840

4.0840

0.7500

3.7969

4.1406

3.7969

4.1875

3.8438

4.1875

3.8906

4.1875

3.8906

4.1406

3.8438

4.0938

0.8000

3.8640

4.1280

3.8640

4.1600

3.8960

4.1600

3.9280

4.1600

3.9280

4.1280

3.8960

4.0960

0.8500

3.9201

4.1084

3.9201

4.1275

3.9392

4.1275

3.9584

4.1275

3.9584

4.1084

3.9392

4.0892

0.9000

3.9630

4.0810

3.9630

4.0900

3.9720

4.0900

3.9810

4.0900

3.9810

4.0810

3.9720

4.0720

0.9500

3.9904

4.0451

3.9904

4.0475

3.9928

4.0475

3.9951

4.0475

3.9951

4.0451

3.9928

4.0427

1.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

Las
imágenes correspondientes a estos 6 incisos se muestran a
continuación

Ejemplo

Considere
dos puntos de coordenadas P1 = [3,4]T y P2
= [4,4]T. Como lucen las curvas paramétricas
cúbicas de Bezier, considerando los siguientes
valores de sus derivadas en dichos puntos

a)       P2
= [3.25, 5]T y P2 = [3.75, 2]T

b)       P2
= [1.5, 2]T y P3 = [3.5, 6]T

c)       P2
= [5, 3]T y P3 = [3, 6]T

Para este
caso la matriz de trasformación esta dada por

En la
siguiente tabulación se muestra la salida para los tres incisos y en las
figuras la curva.

a

b

c

t

x

y

x

y

x

y

0.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

3.0000

4.0000

0.0500

3.0393

4.1211

2.8006

3.7435

3.2709

3.8789

0.1000

3.0820

4.1890

2.6500

3.5680

3.4870

3.8110

0.1500

3.1277

4.2104

2.5444

3.4645

3.6536

3.7896

0.2000

3.1760

4.1920

2.4800

3.4240

3.7760

3.8080

0.2500

3.2266

4.1406

2.4531

3.4375

3.8594

3.8594

0.3000

3.2790

4.0630

2.4600

3.4960

3.9090

3.9370

0.3500

3.3329

3.9659

2.4969

3.5905

3.9301

4.0341

0.4000

3.3880

3.8560

2.5600

3.7120

3.9280

4.1440

0.4500

3.4438

3.7401

2.6456

3.8515

3.9079

4.2599

0.5000

3.5000

3.6250

2.7500

4.0000

3.8750

4.3750

0.5500

3.5562

3.5174

2.8694

4.1485

3.8346

4.4826

0.6000

3.6120

3.4240

3.0000

4.2880

3.7920

4.5760

0.6500

3.6671

3.3516

3.1381

4.4095

3.7524

4.6484

0.7000

3.7210

3.3070

3.2800

4.5040

3.7210

4.6930

0.7500

3.7734

3.2969

3.4219

4.5625

3.7031

4.7031

0.8000

3.8240

3.3280

3.5600

4.5760

3.7040

4.6720

0.8500

3.8723

3.4071

3.6906

4.5355

3.7289

4.5929

0.9000

3.9180

3.5410

3.8100

4.4320

3.7830

4.4590

0.9500

3.9607

3.7364

3.9144

4.2565

3.8716

4.2636

1.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

Ejemplo.

Dada una
sucesión de puntos P = {P0 = [3, 4], P1 = [5, 5], P2 = [7, 3], P3 = [9,
5], P4 = [11, 5], P5 = [11, 3]}, determinar la spline
cúbica uniforme que pasa por estos puntos

La
formulación para estos puntos es

La tabulación
correspondiente es

P0, P1, P2, P3

P1, P2, P3, P4

P2, P3, P4, P5

t

x

y

x

y

x

y

0.0000

5.0000

4.5000

7.0000

3.6667

9.0000

4.6667

0.0500

5.1000

4.4714

7.1000

3.6715

9.1000

4.7142

0.1000

5.2000

4.4362

7.2000

3.6857

9.1997

4.7567

0.1500

5.3000

4.3952

7.3000

3.7083

9.2989

4.7942

0.2000

5.4000

4.3493

7.4000

3.7387

9.3973

4.8267

0.2500

5.5000

4.2995

7.5000

3.7760

9.4948

4.8542

0.3000

5.6000

4.2465

7.6000

3.8197

9.5910

4.8767

0.3500

5.7000

4.1913

7.7000

3.8688

9.6857

4.8942

0.4000

5.8000

4.1347

7.8000

3.9227

9.7787

4.9067

0.4500

5.9000

4.0776

7.9000

3.9805

9.8696

4.9142

0.5000

6.0000

4.0208

8.0000

4.0417

9.9583

4.9167

0.5500

6.1000

3.9654

8.1000

4.1053

10.0445

4.9142

0.6000

6.2000

3.9120

8.2000

4.1707

10.1280

4.9067

0.6500

6.3000

3.8616

8.3000

4.2370

10.2085

4.8942

0.7000

6.4000

3.8152

8.4000

4.3037

10.2857

4.8767

0.7500

6.5000

3.7734

8.5000

4.3698

10.3594

4.8542

0.8000

6.6000

3.7373

8.6000

4.4347

10.4293

4.8267

0.8500

6.7000

3.7077

8.7000

4.4975

10.4953

4.7942

0.9000

6.8000

3.6855

8.8000

4.5577

10.5570

4.7567

0.9500

6.9000

3.6715

8.9000

4.6143

10.6142

4.7142

1.0000

7.0000

3.6667

9.0000

4.6667

10.6667

4.6667