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\chapter[Diferenciación e Integración]{Diferenciación e Integración}


\section[Derivadas ]{Diferenciación por diferencias divididas finitas atrás, adelante y centrales de exactitud simple}
Considerando la definición de la derivada 

$$
\frac{df(x)}{dx} =\lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f(x) - f(x-h)}{h}
$$

entonces para valores pequeños de $h$ podemos hacer una aproximación de la derivada haciendo

$$
\frac{df(x)}{dx} \approx   \frac{f(x) - f(x-h)}{h}
$$

En el caso de considerar la diferencia hacia adelante podemos hacer 
$$
\frac{df(x)}{dx} \approx   \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
Considerando que los incrementos se dan hacia adelante y hacia atrás, podemos dar una representación de la derivada centrada como
$$
\frac{df(x)}{dx} \approx   \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}
$$

\section[Derivadas Mejoradas]{Diferenciación por diferencias divididas finitas atrás, adelante y centrales de exactitud mejorada}

\section{Integración por el método de barras}

En general todos los métodos de integración numérica hacen uso de la interpretación de la integral propia, esta interpretación nos dice que la integral en un intervalo $x_0$ y $x_1$ es el área bajo la curva. Así podemos hacer este cálculo del área suponiendo que nuestros rectángulos son de altura $f(x_0)$. Recordemos que el área de un rectángulo esta dado como
$$
A = (x_1-x_0) f(x_0)
$$

por lo que la integral la podemos aproximar por

$$
I = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx \approx  \int_{x_0}^{x_1} f(x_0) dx = \left . f(x_0) x \right |_{x_0}^{x_1}  = f(x_0)*(x_1-x_0)
$$


\subsection{Ejemplo}

Para la función $f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x^2 + 675 x^3 - 900 x^4 + 400 x^5$, calcular la integral utilizando el método de barras  en el intervalo $x_0=0$  $x_1=0.8$ .

$$
I \approx  f(0)*(0.8-0) = 0.2 \times 0.8 = 0.16
$$

En Matlab 

\begin{verbatim}
>> Barras(@f1, 0, 0.8, 1)

ans =

    0.1600
\end{verbatim}

Para una mejor aproximación podemos hacer $N$ divisiones de la región de tamaño $h$ y aproximar la integral como:

$$
\int_{x_0}^{x_1} f(x_0) dx \approx  \sum_{k=0}^{N-1} f(x_0+k h)*h
$$

donde $h = (x_1 - x_0)/N$

Esta aproximación da lugar al método de barras cuya codificación en Matlab se presenta a continuación

\begin{verbatim}
function I = Barras(f, x0, x1, N)

h = abs(x1-x0)/N;

suma = 0;
for k=0:N-1
    suma = suma + f(x0+h*k);
end;

I = suma*h;

end
\end{verbatim}

\section{Integración utilizando la Regla Trapezoidal}

Suponer que todos los rectángulos son de altura constante es una suposición fuerte. En lugar de ello supondremos, para este método, que los rectángulos varían linealmente de acuerdo con la siguiente ecuación

$$
f(x) \approx f_1(x) = f(x_0) + \frac{(x-x_0)}{x_1-x_0} (f(x_1)-f(x_0))
$$

A partir de esto podemos hacer la aproximación de nuestra integral
$$
I = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx \approx  \int_{x_0}^{x_1} f_1(x) dx \approx  \int_{x_0}^{x_1} \left( f(x_0) + \frac{(x-x_0)}{x_1-x_0} (f(x_1)-f(x_0))\right)  dx
$$

resolviendo la integral tenemos
$$
I \approx \left . \left( f(x_0) x + \frac{(x-x_0)^2}{2(x_1-x_0)} (f(x_1)-f(x_0))\right)  \right |_{x_0}^{x_1}
$$

$$
I \approx  \frac{f(x_1)+f(x_0)}{2}(x_1-x_0) 
$$

La cual es el área de un trapecio de altura menor $f(x_0)$ y altura mayor $f(x_1)$. 

\subsection{Ejemplo}

Dados los vectores $x = [1, 2]$ y $y = [2, 4]$ :

a) calcular la función de interpolación de grado $n=1$.

\[
f_1(x) = L_0(x) y_0  + L_1(x) y_1
\]

\[
f_1(x) = 2 L_0(x)  + 4 L_1(x) 
\]

Los multiplicadores $L_i(x)$ se calculan con:

\[
L_0(x) = \frac{x - 2}{1 - 2} = 2-x
\]

\[
L_1(x) = \frac{x - 1}{2 - 1} = x-1
\]

Sustituyendo en la función tenemos

\[
f_1(x) = 2 (2 - x)  + 4 (x-1) = 2x  
\]

b) Calcular la integral de la función del inciso a) en el intervalo $x_0=1$ y $x_1=2$

\[
I = \int_{1}^{2} f_1(x) dx  =  \int_{1}^{2} 2x  dx = \left . x^2 \right |_{1}^{2} = 2^2 - 1^2 = 3
\]

c) Corroborar el resultado utilizando el método de la Regla Trapezoidal

\[
I = \frac{(x_1+x_0)(y_1-y_0)} {2} = \frac{(2+1)(4-2)}{2} = 3
\]


\subsection{Ejemplo}

Para la función $f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x^2 + 675 x^3 - 900 x^4 + 400 x^5$, calcular la integral utilizando el método de la Regla Trapezoidal en el intervalo $x_0=0$  $x_1=0.8$ .

$$
I \approx   \frac{f(x_1)+f(x_0)}{2}(x_1-x_0)  = \frac{(0.2320 + 0.2)(0.8-0)} {2}= 0.1728
$$

En Matlab la solución es
\begin{verbatim}
>> Regla_Trapezoidal(@f1, 0, 0.8, 1)

ans =

    0.1728
\end{verbatim}

Si aplicamos la formula para $N$ divisiones de tamaño $h$ tenemos que la regla trapezoidal la podemos calcular como

$$
I \approx (x_1-x_0) \frac{f(x_0) + 2 \sum_{k=1}^{N-1} f(x_0 + kh) + f(x_1)}{2 N}
$$

La implementación en Matlab para la regla trapezoidal 

\begin{verbatim}
function I = Regla_Trapezoidal(f, x0, x1, N)

h = abs(x1-x0)/N;

suma = f(x0); 

for k=1:N-1
    suma = suma + 2*f(x0+h*k);
end;
suma = suma + f(x1);

I = (x1-x0)*suma/(2*N);

end
\end{verbatim}

\section{Integración por el método de regla Simpson 1/3}

En general cuando se utiliza una función de interpolación de mayor grado la diferencia entre los valores estimados y los reales se vuelve pequeña. Para este método en lugar se suponer que la función se aproxima por lineas haremos la aproximación utilizando un polinomio de segundo orden. Pare este método utilizaremos los polinomios de Lagrange de segundo orden dado por

\begin{equation*}
f(x) \approx f_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)+ \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1) + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)
\end{equation*}

donde $x_1$ es un valor a la mitad del intervalo dado por $x_1 = (x_2 + x_0)/2$.

Aplicando la integración de la función de interpolación tenemos:

$$
I = \int_{x_0}^{x_2} f(x) \approx \int_{x_0}^{x_2} f_2(x) dx= (x_2-x_0) \frac{f(x_0) + 4 f(x_1) + f(x_2)}{6}
$$

\subsection{Ejemplo }

Dados los puntos $x = [1, 2, 3]$  y sus correspondientes valores $y = [3, 5, 10]$ determinar:

a) El polinómio de Lagrange de grado $n = 2$

\[
f_2(x) = L_0(x) y_0 + L_1(x) y_1 + L_2(x) y_2
\]

\[
f_2(x) = 3 L_0(x) + 5 L_1(x) + 10 L_2(x) 
\]

Las funciones $L_i(x)$ son:

\[
L_0(x) \frac{(x - 2) (x - 3)}{ (1 - 2) (1 - 3)} = \frac{x^2 - 5x + 6}{2}      
\]
\[
L_1(x) = \frac{(x - 1) (x - 3)}{(2 - 1)  (2 - 3) } = -x^2 + 4x - 3
\]
\[
L_2(x) = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(3 - 1) ( 3 - 2)}  = \frac{x^2 - 3x + 2}{2}
\]
Sustituyendo tenemos
\[
f_2(x) = 3 (x^2 - 5x + 6)/2 - 5 (x^2 - 4x +3) + 10 (x^2 - 3x + 2)/2
\]
\[
f_2(x) = 1.5x^2 -2.5x+ 4
\]
b) Calcular la integral en los límites $x_0 = 1$ y $x_2 = 3$

\[
I = \int_{1}^{3} f_2(x) dx = \int_{1}^{3} (1.5x^2 -2.5x+ 4) dx = \left . (0.5x^3 -1.25x+ 4x) \right |_{1}^{3}
\]
\[
 I =  (0.5(3)^3 -1.25(3)^2+ 4(3)) - (0.5(1)^3 -1.25(1)^2+ 4(1)) = 11
\]

c) Corroborar el resultado utilizando la regla Simpson 1/3

$$
I =  (x_2-x_0) \frac{(y_0 + 4 y_1 + y_2)}{6} =   (3-1) \frac{(3 + 4 (5) + 10)}{6} = 11
$$
\subsection{Ejemplo}

Para la función $f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x^2 + 675 x^3 - 900 x^4 + 400 x^5$, calcular la integral utilizando el método Simpson 1/3 en el intervalo $x_0=0$  $x_2=0.8$ .

Para este caso $x_1 = (0.8 - 0)/2 = 0.4$ y $f(x_1)  = f(0.4) = 2.4560$.

$$
I \approx   (x_2-x_0) \frac{f(x_0) + 4 f(x_1) + f(x_2)}{6}  = (0.8-0) \frac{f(0) + 4 f(0.4) + f(0.8)}{6}= 
$$
$$
I \approx  (0.8-0) \frac{(0.2 + 4 \times 2.4560+ 0.2320)}{6}= 1.3675
$$
En Matlab la solución es
\begin{verbatim}
>> Simpson13(@f1, 0, 0.8, 1)

ans =

    1.3675
\end{verbatim}

La implementación para $N$ divisiones de tamaño $h$  en Matlab es:

\begin{verbatim}
function I = Simpson13(f, ini, fin, N)

h = abs(fin - ini)/N;

suma =0;

for k=0:N-1
    x0 = ini + h*k;
    x1 = x0 + h/2;
    x2 = x0 + h;
    suma = suma + f(x0) + 4*f(x1) + f(x2);
end;

I = h*suma/6;
end
\end{verbatim}

\section{Integración por el método de regla Simpson 3/8 }

Para este método utilizaremos como función de integración un polinomio de Lagrange de tercer orden dado por

\begin{eqnarray*}
f(x) \approx 
f_3(x) &=& \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0 - x_3)}f(x_0)\\
      &+& \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}f(x_1) \\
      &+& \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}f(x_2)\\
      &+& \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}f(x_3)
\end{eqnarray*}

donde  $h = (x_3 - x_0)$  $x_1 = x_0 + h/3$ y $x_2 = x_0 + 2*h/3$

Resolviendo para esta función polinomial

$$
I =\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx  \approx \int_{x_0}^{x_3} f_3(x) dx = (x_3-x_0) \frac{f(x_0) + 3f(x_1) + 3 f(x_2) + f(x_3)}{8}
$$

\subsection{Ejemplo}

Para los valores de $x = [0.5, 1.3, 2.1, 2.9]$ y $y = [1.25, 4.3, 3.9, 2.1]$ determinar:

a) La aproximación polinomial de grado $n=3$

\[
f_3(x) = 1.25 L_0(x) + 4.3 L_1(x) + 3.9 L_2(x) + 2.1 L_3(x)
\]
Las funciones $L_i(x)$ son:
\[
L_0 = \frac{(x - 1.3)(x -2.1)(x -2.9)}{(0.5 - 1.3)(0.5 - 2.1)(0.5 -2.9)} = -0.325521x^3 + 2.050781 x^2 - 4.09831 x + 2.577148  
\]

\[
L_1 = \frac{(x - 0.5)(x -2.1)(x -2.9)}{(1.3 - 0.5)(1.3 - 2.1)(1.3 -2.9)}  =  0.976563 x^3 - 5.37109 x^2 + 8.38867 x - 2.97363
\]

\[
L_2 = \frac{(x - 0.5)(x -1.3)(x -2.9)}{(2.1 - 0.5)(2.1 - 1.3)(2.1 -2.9)}  =  -0.976563x^3 + 4.58984x^2 - 5.73242 x + 1.84082
\]

\[
L_3 = \frac{(x - 0.5)(x -1.3)(x -2.1)}{(2.9 - 0.5)(2.9 - 1.3)(2.9 -2.1)}   0.3255221 x^3 - 1.26953 x^2 + 1.44206 x - 0.444336
\]

Sustituyendo tenemos

\[
f_3(x) =  
\begin{array}{l}
        1.25 (-0.325521x^3 + 2.050781x^2 - 4.09831 x + 2.577148) \\
       +4.3  (0.976563 x^3 - 5.37109 x^2 + 8.38867 x - 2.97363) \\
        + 3.9 (-0.976563x^3 + 4.58984 x^2 - 5.73242 x + 1.84082)\\
        + 2.1 (0.3255221x^3 - 1.26953 x^2 + 1.44206 x - 0.444336)
\end{array}
\]

\[
f_3(x) = 0.667321 x^3 - 5.297847 x^2 + 11.620281 x - 3.319081
\]

b) Calcular la integral de la función $f_3(x)$ en el intervalo $x_0 = 0.5$ y $x_1 = 2.9$

\[
I = \int_{0.5}^{2.9} f_3(x) dx = \int_{0.5}^{2.9} (0.667321 x^3 - 5.297847 x^2 + 11.620281 x - 3.319081) dx
\]

\[
I = \left . (0.166683 x^4 - 1.765949 x^3 + 5.810140 x^2 - 3.319081x) \right |_{0.5}^{2.9}
\]

\[
I =  0.166683 (2.9^4 - 0.5^4) - 1.765949 (2.9^3 - 0.5^3)+ 5.810140 (2.9^2 - 0.5^2) - 3.319081(2.9 - 0.5) = 8.385
\]

c) Corroborar el resultado utilizando la regla Simpson 3/8
\[
I = (2.9-0.5)\frac{(1.25 + 3\times4.3 + 3\times 3.9 + 2.1)}{8} = 8.385
\]

\subsection{Ejemplo}

Para la función $f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x^2 + 675 x^3 - 900 x^4 + 400 x^5$, calcular la integral utilizando la regla Simpson 3/8 en el intervalo $x_0=0$  $x_3=0.8$ .

$$
I  \approx  (0.8-0) \frac{f(0) + 3f(0.2667) + 3 f(0.5333) + f(0.8)}{8}= 
$$

$$
I \approx  (0.8-0) \frac{(0.2 + 3 \times 1.4327 + 3 \times 3.4872 +  0.2320)}{8}= 1.5192
$$
En Matlab la solución es
\begin{verbatim}
>> Simpson38(@f1, 0, 0.8, 1)

ans =

    1.5192
\end{verbatim}

La implementación en Matlab de la regla de Simpson 3/8 para $N$ intervalos es

\begin{verbatim}
function I = Simpson38(f, ini, fin, N) 
h = abs(fin-ini)/N;

suma =0;

for k=0:N-1
    x0 = ini + h*k;
    x1 = x0 + h/3;
    x2 = x0 + 2*h/3;
    x3 = x0 + h;
    suma = suma + f(x0) + 3*f(x1) + 3*f(x2) + f(x3);
end;

I = h*suma/8;
end
\end{verbatim}


\section{Ejemplos}

\subsection{Ejemplo 1}

Dada la función 
$$
f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x^2 + 675 x^3 - 900 x^4 + 400 x^5
$$

Hacer la solución de las integral en el intervalo $0 \leq x \leq 0.8$ con $N=1$ aplicando los métodos vistos y comparar con la solución real dada por la ecuación. 

Comenzamos por calcular la integral de $f(x)$

$$
I(x) = \int_0^{0.8} f(x) dx = \left.\left ( 0.2 x + \frac{25}{2} x^2 - \frac{200}{3} x^3 + \frac{675}{4} x^4 -\frac{900}{5} x^5 + \frac{400}{6} x^6 \right ) \right |_0^{0.8} = 1.6405
$$

\textbf{Método de Barras}

Dado $x_0 = 0$, $x_1 = 0.8$ y $f(x_0) = 0.2$ tenemos

$$
f_0(x) = f(x_0) = 0.2
$$

La integral de $f_0(x)$ es 

$$
I = \int_{0}^{0.8} 0.2  ~ dx = \left . 0.2 x \right |_{0}^{0.8} = 0.2 \times (0.8 - 0) = 0.16
$$

Aplicando el método de Barras

$$
MB = (x1 - x0) f(x_0) = (0.8 - 0) \times 0.2 = 0.16
$$


\textbf{Regla Trapezoidal}

Dado $x_0 = 0$, $x_1 = 0.8$, $f(x_0) = 0.2$ y $f(x_1) = 0.232$ la aproximación del polinomio de Lagrange es :

\[
f_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} f(x_ 0) + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} f(x_ 1)
\]

\[
f_1(x) = \frac{x - 0.8}{0 - 0.8} 0.2 + \frac{x - 0}{0.8 - 0} 0.232
\]

Reduciendo termino tenemos el polinomio

\[
f_1(x) = 0.2 + 0.04x
\]

cuya integral es

$$
I = \int_{0}^{0.8} (0.2 + 0.04x) ~ dx = \left . (0.2 x + 0.02 x^2) \right |_{0}^{0.8} = 0.1728
$$

La solución utilizando la Regla Trapezoidal es:

$$
RT = (x_1 - x_0) (f(x_1) + f(x_0))/ 2 = (0.8 - 0) (0.232 + 0.2)/2 = 0.1728
$$

\textbf{Regla Simpson 1/3}


Dado $x_0= 0$, $x_1 = 0.4$, $x_2 = 0.8$, $f(x_0) = 0.2$, $f(x_1) = 2.456$ y $f(x_2) = 0.232$ la aproximación del polinomio de Lagrange es:

$$
f_2(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} f(x_0) +  \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} f(x_1) +  \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} f(x_2)
$$

sustituyendo los valores

$$
f_2(x) = \frac{(x - 0.4)(x - 0.8)}{(0 - 0.4)(0 - 0.8)} 0.2+  \frac{(x -0)(x - 0.8)}{(0.4 - 0)(0.4 - 0.8)} 2.456 +  \frac{(x - 0)(x - 0.4)}{(0.8 - 0)(0.8 - 0.4)} 0.232
$$

Reduciendo términos tenemos

$$
f_2(x) = 0.2 + 11.24 x - 14 x^2
$$
cuya integral es

$$
I = \int_{0}^{0.8} (0.2 + 11.24x - 14 x^2) ~ dx = \left . (0.2 x + 5.62 x^2 - 4.666667 x^3) \right |_{0}^{0.8} = 1.367466
$$

La solución aplicando el método Simpson 1/3 es 

$$
RS1/3 = (x_2 - x_0) \frac{f(x_0) + 4 f(x_1) + f(x_2)}{6} = (0.8 - 0) \frac{0.2 + 4\times 2.456 + 0.232}{6} = 1.367466
$$

\textbf{Regla Simpson 3/8}

Dado $x_0= 0$, $x_1 = 0.266666$, $x_2 = 0.5333333$,  $x_3 = 0.8$, $f(x_0) = 0.2$, $f(x_1) = 1.43272$, $f(x_2) = 3.48718$ y $f(x_3) = 0.232$ la aproximación del polinomio de Lagrange es:

$$
\begin{array}{r}
f_3(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x_3)} f(x_0) +  \frac{(x - x_0)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)(x1 - x_3)} f(x_1) + \\
\\
 \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1) (x_2 - x_3)} f(x_2) + \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_0)(x_3 - x_1) (x_3 - x_2)} f(x_3)
\end{array}
$$

sustituyendo los valores

$$
\begin{array}{r}
f_3(x) = \frac{(x - 0.266666)(x - 0.533333)(x - 0.8)}{(0 - 0.266666)(0 - 0.533333)(0 - 0.8)} 0.2 +  \frac{(x - 0)(x - 0.533333)(x - 0.8)}{(0.266666 - 0)(0.266666 - 0.533333)(x1 - 0.8)} 1.43272 + \\
\\
 \frac{(x - 0)(x - 0.266666)(x - 0.8)}{(0.533333 - 0)(0.533333 - 0.266666) (0.533333 - 0.8)} 3.48718 + \frac{(x - 0)(x - 0.266666)(x - 0.533333)}{(0.8 - 0)(0.8 - 0.266666) (0.8-0.533333 )} 0.232
\end{array}
$$

Reduciendo términos tenemos

$$
f_3(x) = 0.2 - 4.582222 x + 48.888888 x^2 - 53.888889 x^3
$$
cuya integral es

$$
I = \int_{0}^{0.8} (0.2 - 4.582222 x + 48.888888 x^2 - 53.888889 x^3) ~ dx = 
$$
$$
I = \left . (0.2x - 2.291111 x^2 + 16.296296 x^3 - 13.472222 x^4) \right |_{0}^{0.8} = 1.51917
$$

La solución aplicando la Regla Simpson 3/8 es 

$$
RS3/8 = (x_3 - x_0) \frac{f(x_0) + 3 f(x_1) + 3 f(x_2) + f(x_3)}{8} 
$$
$$
RS3/8= (0.8 - 0) \frac{0.2 + 3\times 1.43272 + 3 \times 3.48718 + 0.232}{8} = 1.51917
$$

En la siguiente tabla se muestra un resumen de la la solución para cada uno de los métodos así como el error numérico respecto al valor real de la integral.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline
    Método & Solución & error \\
    \hline
    Barras             & 0160000  &   $|1.6405 - 0.160000| = 1.4805$\\
    R. Trapezoidal & 0.172800  &  $|1.6405 - 0.172800| = 1.4677$\\
    R. Simpson 1/3   & 1.367466  & $ |1.6405 - 1.367466| = 0.2731$\\
    R. Simpson 3/8   & 1.519170  & $ |1.6405 - 1.519170| = 0.1214$\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}

Note que el mejor desempeño lo tiene la Regla Simpson 3/8 en virtud de utilizar polinomios de grado 3 para llevar a cabo la integración.

En la Figura \ref{fig:aprox1} se muestra de izquierda a derecha las aproximaciones polinomiales calculada por los métodos de Barras, Regla Traprezoidal, Regla Simpson 1/3 y Regla Simpson 3/8. Para cada una de las curvas en la Figura se muestra en azul la función original y en negro la aproximación de cada una de las funciones polinomiales.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{capitulo_7/figuras/aprox_1.jpg}
\caption{Ejemplo de las funciones aproximadas para cada uno de los métodos } 
\label{fig:aprox1}
\end{figure}

\subsection{Ejemplo 2}

Para la función del Ejemplo 1 calcular los errores de integración cuando el intervalo de integración $0 \leq x \leq 0.8$ se divide en $N= 5$ intervalos del mismo tamaño $h = 0.16$. Mostrar la gráficas de las funciones aproximadas en cada intervalo. Concluir

En la siguiente tabla se muestran los 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline
    Método & Solución & error \\
    \hline
    Barras                 & 1.5373  &  $|1.6405 - 1.5373| = 0.10318$\\
    R. Trapezoidal    & 1.5399  &  $|1.6405 - 1.5399| = 0.1006$\\
    R. Simpson 1/3   & 1.0852   & $|1.6405 - 1.6401| = 0.0004$\\
    R. Simpson 3/8   & 1.6405   & $|1.6405 - 1.6403| = 0.0002$\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}

En la Figura \ref{fig:aprox5} se muestra de izquierda a derechas las gráficas correspondientes a cada aproximación considerando que el intervalo se divide en 5.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{capitulo_7/figuras/aprox_5.jpg}
\caption{Ejemplo de las funciones aproximadas para cada uno de los métodos dividiendo el intervalo de integración en 5 } 
\label{fig:aprox5}
\end{figure}



\subsection{Ejemplo 3}

Para la función del Ejemplo 1 calcular los errores de integración cuando el intervalo de integración $0 \leq x \leq 0.8$ se divide en $N= 100$ intervalos del mismo tamaño $h = 0.008$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline
    Método & Solución & error \\
    \hline
    Barras             & 1.6401  &  0.0004\\
    R Trapezoidal & 1.6403  &  0.0003\\
    Simpson 1/3   & 1.6405   & 0.0000\\
    Simpson 3/8   & 1.6405   & 0.0000\\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Note que a medida que se utilizan mas intervalos la solución en mucho mejor acercando a la solución real.
        
    