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\chapter[Ecuaciones diferenciales parciales]{Ecuaciones diferenciales parciales}

\section{Fórmula de integración por el método explícito de diferencias divididas finitas}

Consideremos la ecuación diferencial

$$
C_1 \frac{dy}{dx} + C_2 y = C_3
$$

Si hacemos la aproximación de la derivada mediante la ecuación

$$
\frac{dy}{dx} \approx \frac{y(x_k) - y(x_k-h)}{h} \equiv \frac{y_k - y_{k-1} }{h} 
$$

Aplicándolo a la ecuación diferencial original 

$$
C_1 \left(  \frac{y_k - y_{k-1}}{h} \right) + C_2 y_k = C_3
$$

Agrupando términos semejantes tenemos

$$
(C_1 + C_2h) y_k - C_1 y_{k-1}  = C_3 h
$$

Lo cual da lugar a una recurrencia de la siguiente forma

\begin{eqnarray*}
(C_1 + C_2h) y_1  - C_1 y_0  = C_3 h \\
(C_1 + C_2h) y_2  - C_1 y_1  = C_3 h \\
(C_1 + C_2h) y_3  - C_1 y_2  = C_3 h \\
(C_1 + C_2h) y_4  - C_1 y_3  = C_3 h \\
\vdots \\
(C_1 + C_2h) y_N  - C_1 y_{N-1} = C_3 h \\
\end{eqnarray*}

Lo cual da Lugar a un sistema de ecuaciones de la forma

\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{ccccc}
(C_1 + C_2 h) &  0                       &   0 & \cdots & 0 \\
-C_1                &  (C_1 + C_2 h)  &   0 & \cdots & 0 \\
0                      &   -C_1                &  (C_1 + C_2 h)  &   \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0                      &   0          & 0 &  -C_1                &  (C_1 + C_2 h) \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
\vdots \\
y_N\\
\end{array}
\right] = 
\left[
\begin{array}{c}
C_3h + C_1 y_0\\
C_3h\\
C_3 h\\
\vdots \\
C_3 h\\
\end{array}
\right]\end{equation*}

de forma compacta podemos escribir $Ay = b$ cuya solución es $y = A^{-1} b$. La solución en Matlab es

\begin{verbatim}
function [x,y] = Ecuacion_Primer_Orden(x0, y0, h, N, C)
    x = [x0:h:x0+(N-1)*h]'; 
    

    A = zeros(N-1, N-1);
    b = zeros(N-1, 1);
    for k=1:N-1
        A(k,k) = C(1) + C(2)*h;
        b(k) = C(3)*h;
        if k>1
            A(k, k-1) = -C(1);
        else
            b(k) = b(k)+ C(1)*y0;
        end;
    end;
    y = [y0; A\b];
end
\end{verbatim}

\subsection{Ejemplo}

Consideremos el caso del circuito RL planteado en el capítulo anterior, el cual tenía una resistencia $R=2$ ohms, una inductancia $L=0.3$ H y estaba alimentado por una fuente de voltaje de $V= 10$ volts dado por la ecuación diferencial

\begin{equation*}
L \frac{di}{dt} + R i = V
\end{equation*}

Dado $t=0$, i(0) = 0 y h = 0.01 calcular:

\begin{itemize}
\item El sistema lineal de ecuaciones para calcular la solución con $N = 4$
\item La solución del sistema lineal de ecuaciones y
\item comparar con la solución con el método de Euler para las mismas condiciones del sistema y
\item Solucionar para $N = 1000$ y graficar $t$ vs $i(t)$ 
\end{itemize}

El sistema de ecuaciones a resolver por el método de diferencias es

\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{cccc}
    0.3020   &      0   &       0   &      0 \\
   -0.3000   & 0.3020  &       0  &       0 \\
         0   & -0.3000  &  0.3020    &     0\\
         0    &     0  & -0.3000  &  0.3020\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
    i_1 \\
    i_2\\
    i_3\\
    i_4\\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
    0.0100 \\
    0.0100\\
    0.0100\\
    0.0100\\
\end{array}
\right]
\end{equation*}

La solución del sistema de ecuaciones es:

\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{c}
    i_1 \\
    i_2\\
    i_3\\
    i_4\\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{c}
         0 \\
    0.0331 \\
    0.0660  \\
    0.0987  \\
    0.1311  \\
\end{array}
\right]
\end{equation*}

La solución utilizando el método de Euler es:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 &     & Euler & Diferencias\\
$k$ & $t$ & $i_E$ & $i_D$\\
\hline
0 &         0      &  0.0000 &     0.0000\\
1 &    0.0010  &  0.0333 &     0.0331\\
2 &    0.0020  &  0.0664 &     0.0660\\
3 &    0.0030  &  0.0993 &     0.0987\\
4 &    0.0040  &  0.1320 &     0.1311 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

La solución para $N=100$ se muestra en la figura \ref{fig:Cto_RL2}

\begin{verbatim}
>> [t,ic] = Ecuacion_Primer_Orden(0, 0, 0.001, 1000, [0.3, 2, 10]);
>> plot(t, ic)
\end{verbatim}

\begin{figure}[!htp]
   \centering
   \centerline{\psfig{figure=Capitulo_9/figuras/circuito_RL.eps, width=8.0cm}}
   \caption{Solución para el Circuito RL}
   \label{fig:Cto_RL2}
\end{figure}

%\section{Fórmula de integración por el método implícito de diferencias divididas}

%\section{Fórmula de integración por el método de Crank-Nicolson}

%\section{Método del elemento finito}

