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\chapter[Tareas]{Tareas}

\section{Tarea 1}

Escribir código en Matlab que permita imprimir, utilizando un solo asterisco, condicionales y ciclos:
a) Un Triángulo


* \\
**\\
***\\
****\\
*****\\
******\\
*******

b Un cuadro

*******\\
* \hspace{0.7cm}      *\\
* \hspace{0.7cm}      *\\
* \hspace{0.7cm}      *\\
* \hspace{0.7cm}      *\\
* \hspace{0.7cm}      *\\
*******


\section{Tarea 2}

Dada la función $f(x) = sen10x+ cos3x$ hacer:

1.- Calcular la aproximación en serie de Taylor con $a=0$ y mostrar la gráfica correspondiente comparada con los valores reales de la función en un intervalo $[0, 5]$

2.- Utilizando el método gráfico determinar los mínimos en el intervalo $[10, 15]$.

\section{Tarea 3}

Dada la función $f(x) = sen(10x) + cos(3x)$ la cual tiene un cruce por cero en el intervalo $x* \in [-3.6, -3.2]$, calcular el cruce por cero en esta región utilizando los métodos de Bisección, Regla Falsa, Punto Fijo y Newton Raphson. Reportar una tabla para $N$ iteraciones como la siguiente para cada uno de los métodos.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & \multicolumn{2}{c}{Biseccion}  & \multicolumn{2}{c}{R. Falsi}  & \multicolumn{2}{c}{P Fijo} & \multicolumn{2}{c}{N Raphson} \\
$k$ &  $x_{Bk}$ & $f(x_{Bk})$ & $x_{Rk}$ & $f(x_{Rk})$ & $x_{Pk}$ & $f(x_{Pk})$ & $x_{Nk}$ & $f(x_{Nk})$\\
\hline
$0$ & $x_{B0}$ & $f(x_{B0})$ & $x_{R0}$ & $f(x_{R0})$ & $x_{P0}$ & $f(x_{P0})$ & $x_{N0}$ & $f(x_{N0})$\\
$1$ & $x_{B1}$ & $f(x_{B1})$ & $x_{R1}$ & $f(x_{R1})$ & $x_{P1}$ & $f(x_{P1})$ & $x_{N1}$ & $f(x_{N1})$\\
$2$ & $x_{B2}$ & $f(x_{B2})$ & $x_{R2}$ & $f(x_{R2})$ & $x_{P2}$ & $f(x_{P2})$ & $x_{N2}$ & $f(x_{N2})$\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
$N$ & $x_{BN}$ & $f(x_{BN})$ & $x_{RN}$ & $f(x_{RN})$ & $x_{PN}$ & $f(x_{PN})$ & $x_{NN}$ & $f(x_{NN})$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

donde $N$ es el número máximo de iteraciones en el cual todos los métodos converge. Hacer una gráfica con los valores de la Tabla de $k$ vs $f(x_Bk)$, $f(x_Rk)$, $f(x_Pk)$ y $f(x_Nk)$  con la solución de todos los métodos.

\section{Tarea 4}

Escribir el código en Matlab para realizar la división sintética de un polinomio $f_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} \dots+a_1 x + a_0$ con un monomio $x+s$.

\section{Tarea 5}
a) Calcular las raíces del polinomio $x^4-1$ utilizando el método de Bairstow.

b) Dada la función $0.1 + (x - 3) e^{-(x - 3)^2}$ determinar, la expanción en Serie de Taylor con $N = 5$ y $a=0$. Para el polinomio resultante calcular las raíces utilizando el Método de Bairstow.

\section{Tarea 6}

1.- Para el sistema de ecuaciones

10 x + 2 y - z = 5

2 x + 15 y    = 2

 -x  + 20 z   = 3
 
 Resolver a mano todas las operaciones para calcular el sistema Triangular Superior con el método de Eliminación Gaussiana
 
2.- Hacer la implementación en Matlab del algoritmo de eliminación Gaussiana. Probar con el ejemplo dado en clases.

\section{Tarea 7}
a) Calcular el mínimo de la función $f(x) = (x-2)^4$ utilizando el algoritmo de Razón Dorada en el intervalo $[1, 5]$
b) Calcular el mínimo de la función $f(x_1, x_2) = (x_1-2)^4 + (x_1-2)^2x_2^2 +(x_2+1)^2$, utilizando el método de Newton.

En ambos casos hacer al menos tres iteraciones a mano y mostrar el resultado que da la implementación en Matlab.

\section{Tarea 8}

Buscar una aplicación en Ingeniería de los temas revisados en los capítulos 1 al 5.

\section{Tarea 9}

Dado el sistema de ecuaciones

\begin{eqnarray*}
3 x_1 - 0.1 x_2 - 0.2 x_3 &=& 7.85\\
0.1 x_1 + 7 x_2 - 0.3 x_3 & = & -19.3\\
0.3 x_1 - 0.2 x_2 + 10 x_3 &= &71.4
\end{eqnarray*}

Calcular la solución del sistema y la inversa utilizando el algoritmos de Gauss-Jordan.

\section{Tarea 10}

Dadas la funciones a optimizar $Z_1$ y $Z_2$, dadas por la siguiente expresiones, 

\begin{eqnarray*}
Z_1 = 6 x_1 + 4 x_2\\
\texttt{Sujeta a }\\
2 x_1 + 2 x_2 \leq 160\\
x_1 + 2x_2 \leq 120\\
4 x_1 + 2 x_2  \leq 280
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
Z_2 = 3 x_1 + 4 x_2\\
\texttt{Sujeta a }\\
2 x_1 + 3 x_2 \leq 1200\\
2 x_1 + x_2 \leq 1000\\
4 x_2  \leq 880
\end{eqnarray*}

calcular los puntos del polígono de la región de factibilidad (para cada problema) y evaluar la función de costo correspondiente en cada uno de ellos.

\section{Tarea 11}

a)  Para la implementación en Matlab del algoritmo Simplex hacer una modificación que permita hacer que esta función regrese:

\begin{verbatim}
[z, x, h] = Simplex[c, A, b]
\end{verbatim}

donde $z$ es el valor de la función de costo, $x$ el valor de la variables en la solución y $h$ el valor de las variables de holgura.

 b) Optimizar utilizando el método simplex, el siguiente problema. Todos los cálculos deberán ser realizados a mano y comprobar que la solución es la correcta utilizando el algoritmo implementado en Matlab.
 
\begin{eqnarray*}
Z = 3 x_1 + 2 x_2 + 5 x_3 \\
\texttt{sujeto a}\\
x_1 <= 10\\
x_2 <= 5\\
x_3 <= 6\\
x_1 + x_2 + x_3 = 15
\end{eqnarray*}

\section{Tarea 12}

Dados los puntos
 
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
    $x$  & $ln(x)$ \\
    \hline
    1  &  0.0000\\
    2  &  0.6931\\
    3  &  1.0986\\
    4  &  1.3863\\
    5  &  1.6094\\
    6  &  1.7918\\
\end{tabular}
\end{center}

a) Encontrar los polinomios de mínimos cuadrados $f_k(x)$ de grado  $k= 1,2,3,4,5$,  

b) Realizar la interpolación utilizando interpolación de Newton de grado $k= 1,2,3,4,5$ y

c) Llenar la siguiente tabla, donde se hace la comparación del valor real de la función y los valores de los polinomios de mínimos cuadrados y la interpolación de Newton

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Grado & Polinomio & Polinomio &  Interpolación &  Interpolación\\
$k$ & $f_k(1.5)$ &  Error &$\hat{f}_k(1.5)$ & Error\\
\hline
1 & $f_1(1.5)$ & $(0.4055 - f_1(1.5))^2$ & $\hat{f}_1(1.5)$ & $(0.4055 - \hat{f}_1(1.5))^2$ \\
2 & $f_2(1.5)$ & $(0.4055 - f_2(1.5))^2$ & $\hat{f}_2(1.5)$ & $(0.4055 - \hat{f}_2(1.5))^2$ \\
3 & $f_3(1.5)$ & $(0.4055 - f_3(1.5))^2$ & $\hat{f}_3(1.5)$ & $(0.4055 - \hat{f}_3(1.5))^2$ \\
4 & $f_4(1.5)$ & $(0.4055 - f_4(1.5))^2$ & $\hat{f}_4(1.5)$ & $(0.4055 - \hat{f}_4(1.5))^2$ \\
5 & $f_5(1.5)$ & $(0.4055 - f_5(1.5))^2$ & $\hat{f}_5(1.5)$ & $(0.4055 - \hat{f}_5(1.5))^2$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


