\section{Transformada Discreta de Fourier de una se\~nal muestreada }
\noindent

Dada la se\~nal $x(t)=cos(300t)+sen(450t)$:
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{Tareas/Tarea10/images/orig.eps}
   \caption{ $x(t)=cos(300t)+sen(450t)$}
  \label{fig:t10f1}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item Discretizar la se\~nal con un periodo de muestreo $w_0=200\frac{rad}{seg}$.
\item Graficar la se\~nal discretizada.
\item Obtener la TDF y la TDF inversa de la se\~nal discretizada y graficar los resultados.
\end{enumerate}

\subsection*{Desarrollo}
Dado que: $w_0=200\frac{rad}{seg}$, $f_0=\frac{200}{2\pi}$Hz  $\therefore$ $T_0=\frac{2\pi}{200}$segs. La se\~nal discretizada ser\'a:
\begin{equation*}
x[n]=x(nT_0)= cos\left[300\left(\frac{2\pi}{200}\right)n\right]+sen\left[450\left(\frac{2\pi}{200}\right)n\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
x[n]= cos\left(3\pi n\right)+sen\left(4\text{.}5\pi n\right)
\end{equation*}
como sabemos, la frecuencia m\'as grande que podemos ver en nuestro espectro relativamente a nuestro n\'umero de muestras es $\pi$, la cual equivale a $\frac{N}{2}$, $\therefore$
\begin{equation*}
x[n]= cos\left(3\frac{N}{2} n\right)+sen\left(\frac{9N}{4} n\right)
\end{equation*}
cuya transformada de Fourier es:
\begin{equation*}
X(k)=\frac{1}{2}\left[\delta\left(k-\frac{3N}{2}\right)+\delta\left(k+\frac{3N}{2}\right)\right]-\frac{j}{2}\left[\delta\left(k-\frac{9N}{4}\right)-\delta\left(k+\frac{9N}{4}\right)\right]
\end{equation*}
\newpage
Lo cual por considerar nuestra se\~nal peri\'odica queda:
\begin{equation*}
X(k)=\frac{1}{2}\left[\delta\left(k-\frac{N}{2}\right)+\delta\left(k+\frac{N}{2}\right)\right]-\frac{j}{2}\left[\delta\left(k-\frac{N}{4}\right)-\delta\left(k+\frac{N}{4}\right)\right]
\end{equation*}
A continuaci\'on se muestra un acercamiento de la imagen original y la imagen muestreada, se ve claramente una gran diferencia.
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{Tareas/Tarea10/images/comparison.eps}
   \caption{ Comparaci\'on de se\~nal original y se\~nal muestreada.}
  \label{fig:t10f2}
  \end{center}
\end{figure}

Tomando en consideraci\'on un n\'umero de muestras $N=128$, a continuaci\'on se muestra la transformada de Fourier  graficada de $[0-2\pi]$, se observa efectivamente las frecuencias calculadas con anterioridad  y la transformada inversa la cual no se trata de la se\~nal original (debido a la frecuencia de muestreo).
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
    \includegraphics[width=\textwidth]{Tareas/Tarea10/images/transforms.eps}
   \caption{Transformada de Fourier y se\~nal reconstruida con TDFI.}
  \label{fig:t10f3}
  \end{center}
\end{figure}
