\section{Filtros}
\noindent\begin{enumerate}
\item Dada la se\~nal:
\begin{equation*}
I(n,m)=cos\left(\frac{2\pi}{N}20n\right)+N(0,\sigma)
\end{equation*}
$N(0,\sigma) = $ ruido gaussiano, con media $\mu=0$ y varianza $\sigma=0\text{.}1$, multiplicar la se\~nal en el dominio de la frecuencia por una \textbf{caja} centrada en la frecuencia correspondiente para eliminar el ruido.
\item Para la misma se\~nal $I(n,m)$ calcular un kernel de convoluci\'on separable, multiplicarlo por una exponencial compleja $e^{j\left(\theta k_0n+\theta l_0m\right)}$ para hacer un filtrado del ruido en la se\~nal en el dominio del tiempo.
\end{enumerate}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/orig.eps}
\caption{$I(n,m)$.}
\label{fig:t11f6}
\end{center}
\end{figure}

\subsection*{Desarrollo}
Un filtro permite el paso solamente de ciertas frecuencias. Un filtro pasa bajas se caracteriza por permitir pasar las frecuencias cercanas a la componente de directa y atenuar las frecuencias m\'as altas. Por otra parte un filtro pasa altas, es un tipo de filtro en cuya respuesta en frecuencia se aten\'uan las componentes de baja frecuencia pero no las de alta frecuencia. Un filtro paso banda es un tipo de filtro electr\'onico que deja pasar un determinado rango de frecuencias de una se\~nal y aten\'ua el paso del resto.

\subsubsection*{1.}
La transformada de Fourier de la se\~nal $I(n,m)$ se muestra en la figura \ref{fig:t11f1}, para hacer el filtrado en el dominio de la frecuencia es necesario hacer una multiplicaci\'on punto a punto de la trasformada de Fourier por nuestra caja (mostrada en la figura \ref{fig:t11f2}), esto es:
\begin{equation*}
[Re(k,l) + Im(k,l)]\cdot Caja(k,l)
\end{equation*}

\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure{\label{fig:t11f3}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/fftreal.eps}}
    \subfigure{\label{fig:t11f4}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/fftimag.eps}}
  \end{center}
  \caption{Transformada de Fourier de I(m,n).}
  \label{fig:t11f1}
\end{figure}

\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/cajafrec.eps}
\caption{Caja centrada en $(k_0,l_0)=(20,0)$.}
\label{fig:t11f2}
\end{center}
\end{figure}

la cual, debemos ubicar o centrar en la posici\'on de la frecuencia principal que queremos dejar pasar, en este caso se requiere que solo pasen las frecuencias correspondientes a $(k_0,l_0)=(20,0)$ por lo que se centrar\'a la caja en estas coordenadas. Se debe considerar tambi\'en que el ancho de banda de nuestro filtro, es decir, las frecuencias que \'este permitira pasar, depende del tama\~no de nuestra caja. El resultado del filtrado se muestra en la figura \ref{fig:t11f5}.
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure{\label{fig:t11f7}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/filtrreal1.eps}}
    \subfigure{\label{fig:t11f8}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/filtrim1.eps}}
  \end{center}
  \caption{Resultado del filtrado de $I(n,m)$.}
  \label{fig:t11f5}
\end{figure}


\subsubsection*{2.}
Para implementar un filtro que brinde un resultado semejante al ejercicio anterior pero mediante convoluci\'on en el dominio del tiempo y a un bajo costo computacional relativo, es conveniente tener kerneles de convoluci\'on separables y aplicar el desplazamiento en frecuencia necesario, multiplicando por la exponencial compleja correspondiente, en este caso $(k_0,l_0)=(20,0)$, obteniendo:
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure{\label{fig:t11f10}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/cajarealtiempo.eps}}
    \subfigure{\label{fig:t11f11}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/cajaimagtiempo.eps}}
  \end{center}
  \caption{Kerneles de caja separables desplazados en fercuencia.}
  \label{fig:t11f9}
\end{figure}

desarrollando la operaci\'on, esto es:
\begin{equation*}
Caja(n,m)\to [caja(n)caja(m)]e^{j\left(\frac{2\pi}{N}k_0n+\frac{2pi}{M}l_0m\right)}
\end{equation*}
Considerando $\theta=\frac{2\pi}{N}$, tenemos entonces:
\begin{eqnarray*}
Caja&=&g(n)g(m)e^{j\theta k_0n}e^{j\theta l_0m}\\
&=&[g(n)e^{j\theta k_0n}]g(m)e^{j\theta l_0m}\\
&=&g(n)[cos(\theta k_0n)+jsen(\theta k_0n)]g(m)[cos(\theta l_0m)+jsen(\theta l_0m)]
\end{eqnarray*}\newpage
y separando la parte real y la imaginaria:
\begin{equation*}
Real(n,m)=g(n)cos(\theta k_0n)g(m)cos(\theta l_0m)-g(n)sen(\theta k_0n)g(m)sen(\theta l_0m)
\end{equation*}
\begin{equation*}
Imag(n,m)=g(n)sen(\theta k_0n)g(m)cos(\theta l_0m)+g(n)cos(\theta k_0n)g(m)sen(\theta l_0m)
\end{equation*}

cuyos resultados se pueden apreciar en la figura \ref{fig:t11f12}, la cual muestra el senal original filtrada.
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure{\label{fig:t11f13}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/filtrreal2.eps}}
    \subfigure{\label{fig:t11f14}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea11/images/filtrim2.eps}}
  \end{center}
  \caption{Kerneles de caja separables desplazados en fercuencia.}
  \label{fig:t11f12}
\end{figure}

\subsection*{Conculsiones}
Para la realizaci\'on de esta tarea se aprovecharon las propiedades de la convluci\'on para la implementaci\'on de dos filtros, uno en el dominio del tiempo y el segundo en el dominio de la frecuencia, obteni\'endose resultados similares en ambos casos al aplicarlos a una se\~nal ruidosa para limpiarla. Lo cual comprob\'o la posiblidad de implementar filtros tanto en el espacio geom\'etrico como en el espacio de la frecuencia
