\section{C\'alculo de una Homograf\'ia}
\noindent
Dado el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
P_1=\left[\begin{array}{c}
	10,10\\
	10,50\\
	50,50\\
	50,10	
\end{array}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
P_2=\left[\begin{array}{c}
	8\text{.}9108,10\text{.}89108\\
	4\text{.}95049, 46\text{.}53465\\
	39\text{.}04761, 48\text{.}57142\\
	42\text{.}85714, 14\text{.}28571	
\end{array}\right]
\end{equation*}

\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
   \includegraphics[width=0.35\textwidth]{Tareas/Tarea3/images/im1.eps}
  \end{center}
  \caption{Conjuntos $P_1$ y $P_2$.}
  \label{fig:t3f}
\end{figure}
\noindent que se muestran en figura \ref{fig:t3f}, realizar el c\'alculo de los par\'ametros de una homograf\'ia que representa un modelo proyectivo utilzando m\'inimos cuadrados y comparar con le m'etodo de descomposici'on en valores singulares (SVD).

\noindent 
Desarrollo
\noindent 
Del c\'alculo de las tranformaciones respectivas en $x$ y $y$ proyectadas en el plano $z=1$, se obtienen las siguientes ecuaciones:
\begin{equation}
	h_1x+h_2y+h_3-h_7\hat xy-h_8\hat xy=\hat x
\end{equation}
\begin{equation}
	h_4x+h_5y+h_6-h_7\hat yx-h_8\hat yy=\hat y
\end{equation}
donde $\hat x,\hat y$ pertenecen al conjunto de puntos $P_2$ y $x,y$ pertenecen al conjunto de puntos $P_1$. Las cuales se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{cccccccc}
x&y&1&0&0&0&-\hat xx&-\hat xy\\
0&0&0&x&y&1&-\hat yx&-\hat yy
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
h_1\\
h_2\\
h_3\\
h_4\\
h_5\\
h_6\\
h_7\\
h_8
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
\hat x\\
\hat y
\end{array}\right]
\end{equation*}
como tenemos m\'as inc\'ognitas que ecuaciones podemos multiplicar ambos lados de la ecuacion por la transpuesta de la matriz de t\'erminos que multilpican a las $h_i$:
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{cc}
x&0\\
y&0\\
1&0\\
0&x\\
0&y\\
0&1\\
-\hat xx&-\hat yx\\
-\hat xy&-\hat yy
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cccccccc}
x&y&1&0&0&0&-\hat xx&-\hat xy\\
0&0&0&x&y&1&-\hat yx&-\hat yy
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
h_1\\
h_2\\
h_3\\
h_4\\
h_5\\
h_6\\
h_7\\
h_8
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cc}
x&0\\
y&0\\
1&0\\
0&x\\
0&y\\
0&1\\
-\hat xx&-\hat yx\\
-\hat xy&-\hat yy
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
\hat x\\
\hat y
\end{array}\right]
\end{equation*}
sin embargo, al despejar el vector de inc\'ognitas se observa que la matriz resultante de multiplicar la matriz de coeficientes por su transpuesta se trata de una matriz singular sin importar cual sea el valor de $\hat x, \hat y, x$ o $y$, lo cual, no no permite calcular su inversa y por lo tanto no es posible resolver el sistema.

Para poder obtener los par\'ametros se observ\'o que un par de puntos correspondientes generan dos ecuaciones del sistema a resolver, por lo que 4 pares de puntos correspondientes nos generarian igual n\'umero de ecuacions que inc\'ognitas.
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{cccccccc}
x_1&y_1&1&0&0&0&-\hat x_1x_1&-\hat x_1y_1\\
0&0&0&x_1&y_1&1&-\hat y_1x_1&-\hat y_1y_1\\
x_2&y_2&1&0&0&0&-\hat x_2x_2&-\hat x_2y_2\\
0&0&0&x_2&y_2&1&-\hat y_2x_2&-\hat y_2y_2\\
x_3&y_3&1&0&0&0&-\hat x_3x_3&-\hat x_3y_3\\
0&0&0&x_3&y_3&1&-\hat y_3x_3&-\hat y_3y_3\\
x_4&y_4&1&0&0&0&-\hat x_4x_4&-\hat x_4y_4\\
0&0&0&x_4&y_4&1&-\hat y_4x_4&-\hat y_4y_4\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
h_1\\
h_2\\
h_3\\
h_4\\
h_5\\
h_6\\
h_7\\
h_8
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
\hat x_1\\
\hat y_1\\
\hat x_2\\
\hat y_2\\
\hat x_3\\
\hat y_3\\
\hat x_4\\
\hat y_4
\end{array}\right]
\end{equation*}
El vector soluci\'on se muestra a continuaci\'on:
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{c}
h_1\\
h_2\\
h_3\\
h_4\\
h_5\\
h_6\\
h_7\\
h_8
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
0\text{.}9000\\
 -0\text{.}1000\\
 0\text{.}9999\\
 0\text{.}1000\\
 0\text{.}9000\\
 1\text{.}0000\\
 0\text{.}0010\\
 0\text{.}0000
\end{array}\right]
\end{equation*}
el cual es semejante al obtenido por el m\'etodo de SVD:
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{c}
h_1\\
h_2\\
h_3\\
h_4\\
h_5\\
h_6\\
h_7\\
h_8
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
0\text{.}8999999999999954\\
-0\text{.}09999999999999934\\
0\text{.}9999999999999948\\
0\text{.}09999999999999791\\
0\text{.}8999999999999946\\
1\text{.}0000000000001192\\
0\text{.}0010000000000000475\\
1\text{.}1034825056055406E-16
\end{array}\right]
\end{equation*}
