\section{Modelo Proyectivo de la c\'amara a partir de Im\'agenes de un modelo 3D}

\noindent 
Dado un conjunto de puntos $R_i\longleftrightarrow S_i$ del mundo real  3D a la im\'agen 2D
\begin{equation*}
	R_i=[X_i,Y_i,Z_i,1]^T
\end{equation*}
\begin{equation*}
	S_i=[x_i,y_i,w_i,1]^T
\end{equation*}
\begin{equation*}
	S_i=PR_i
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{c}
	x_i\\
	y_i\\
	w_i
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccc}
	P_{11}&P_{12}&P_{13}&P_{14}\\
	P_{21}&P_{22}&P_{23}&P_{24}\\
	P_{31}&P_{32}&P_{33}&P_{34}\\
	P_{41}&P_{42}&P_{43}&P_{33}
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
X_i\\
Y_i\\
Z_i\\
1
\end{array}\right]
\end{equation*}
dado que si dos vectores son paralelos entre s'i, el producto vectorial es $=\vec 0$:
\begin{equation*}
S_i\times PR_i=0
\end{equation*}
Si suponemos,
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{cccc}
	P_{11}&P_{12}&P_{13}&P_{14}\\
	P_{21}&P_{22}&P_{23}&P_{24}\\
	P_{31}&P_{32}&P_{33}&P_{34}
	\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
P1\\
P2\\
P3
\end{array}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
PR_i=\left[\begin{array}{c}
P1R_i\\
P2R_i\\
P3R_i
\end{array}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_i\times PR_i=\vec 0  \Longrightarrow \left[\begin{array}{ccc}
i&j&k\\
x_i&y_i&w_i\\
P1R_i&P2R_i&P3R_i
\end{array}\right]
\end{equation*}
para cada punto $R_i$ del mundo real mapeado en la imagen 2D se obtiene un par de ecuaciones:
\begin{eqnarray*}
y_iP3R_i-wiP2R_i&=&0\\
-x_iP3R_i+w_iP1R_r&=&0
\end{eqnarray*}
por lo tanto necesitamos al menos seis puntos para tener un n\'umero igual de ecuaciones e inc\'ognitas.
\newpage Pasando nuestro sistema a la forma:
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{ccc}
.&.&.\\
.&.&.\\
.&.&.\\
0^T&-wiR_i&y_iR_i\\
w_iR_i&0^T&-x_iR_i\\
.&.&.\\
.&.&.\\
.&.&.
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
P1\\
P2\\
P3
\end{array}\right]=\vec0
\end{equation*}
tenemos un sistema lineal que resolvemos utilzando el m'etodo de descomposici\'on en valores singulares (SVD):
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{c}
P1\\
P2\\
P3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
	P_{11}&P_{12}&P_{13}&P_{14}\\
	P_{21}&P_{22}&P_{23}&P_{24}\\
	P_{31}&P_{32}&P_{33}&P_{34}
\end{array}\right]
\end{equation*}
Dada la matriz P calculamos los par\'ametros de la c'amara,
\begin{equation*}
P=KR[T\mid -C]
\end{equation*}
donde: $C=$ posici\'on del punto principal de la c\'amara en el mundo real, esto lo podemos obtener al encontrar el vector en la direcci\'on del espacio nulo $PC=0$.

$R=$ rotaci\'on de la c\'amara en las tres dimensiones.

 $K=$ matriz de par\'ametros internos de la c\'amara:
\begin{equation*}
K=\left[\begin{array}{ccc}
\alpha_x&s&P_x\\
&\alpha_y&P_y\\
&&1
\end{array}\right]
\end{equation*}  

\begin{eqnarray*}
M=KR &;& R=R_z^TR_y^TR_x^T
\end{eqnarray*}
Para calcular K dado M y dado que una matriz de rotaci\'on es ortogonal: 
\begin{equation*}
M=KR=R_z^TR_y^TR_x^T
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
MR_x&=&R_z^TR_y^TR_x^TR_x\\
MR_x&=&R_z^TR_y^TI\\
MR_x&=&M'\\
M'R_y&=&M''\\
M''R_z&=&K
\end{eqnarray*}
\newpage
\subsection*{Desarrollo}
Para la obtenci\'on de los par\'ametros de la c\'amara se sacaron dos fotos tomadas desde diferentes \'angulos, de acuerdo a la densidad de pixeles/$cm^2$ de las im\'agenes, se sabe que cada una mide aproximadamente 106$\times$141 cm. 


Para el c\'alculo de los par\'ametros con la primer figura se tomaron los puntos que aparecen en verde y como centro de referencia el punto en color azul cuyas coordenadas est'an dadas en cent'imetros:
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{Tareas/Tarea5/images/51_2.eps}
   \caption{Puntos tomados de la Imagen (a).}
  \label{fig:t5f4}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{eqnarray*}
R_i=\left[
\begin{array}{cccc}
 14\text{.}4 & 0 & 0 & 1 \\
 0 & 14\text{.}4 & 0 & 1 \\
 14\text{.}4 & 14\text{.}4 & 0 & 1 \\
 14\text{.}4 & 14\text{.}4 & 14\text{.}4 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 1\text{.}8 & 0 & 12\text{.}6 & 1 \\
 14\text{.}4 & 0 & 14\text{.}4 & 1\\
 7\text{.}2&7\text{.}2&0&1\\
 14\text{.}4&7\text{.}2&7\text{.}2&1\\
 7\text{.}2&0&7\text{.}2&1
\end{array}\right]& ; &
S_i=\left[
\begin{array}{ccc}
 94\text{.}3 & 58\text{.}84 & 1 \\
 38\text{.}52 & 1\text{.}11 & 1 \\
 100\text{.}44 & 9\text{.}1 & 1 \\
 137\text{.}27 & 32\text{.}49 & 1 \\
 44\text{.}77 & 63\text{.}08 & 1 \\
 53\text{.}23 & 99\text{.}69 & 1 \\
 115\text{.}57 & 98\text{.}53 & 1\\
 69\text{.}99&38\text{.}1&1\\
 109\text{.}22&42\text{.}83&1\\
 75\text{.}14&78\text{.}74&1
\end{array}
\right]
\end{eqnarray*}
\begin{equation*}
P=\left[
\begin{array}{cccc}
 -0\text{.}0487473 & 0\text{.}0133769 & 0\text{.}0144258 & -0\text{.}578005 \\
 0\text{.}000857938 & 0\text{.}0487553 & -0\text{.}00771372 & -0\text{.}812739 \\
 -0.0000531202 & 0\text{.}000196116 & 0\text{.}000303633 & -0\text{.}0128544
\end{array}
\right]
\end{equation*}
\newpage
\begin{equation*}
K = \left[\begin{array}{ccc}
127\text{.}1457& -4\text{.}0322& 68\text{.}476\\
0\text{.}0& 127\text{.}0717& 49\text{.}1362\\
0\text{.}0& 0\text{.}0& 1\text{.}0
\end{array}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
C=\left[\begin{array}{c}
2\text{.}4616\\
 21\text{.}2699\\
  29\text{.}6608
\end{array}\right]
\end{equation*}
Para el c\'alculo de los par'ametros con la primer figura se tomaron los puntos que aparecen en verde y como centro de referencia el punto en color azul cuyas coordenadas est'an dadas en cent'imetros:
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{Tareas/Tarea5/images/53_2.eps}
   \caption{Puntos tomados de la Imagen (a).}
  \label{fig:t5f5}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{eqnarray*}
R_i=\left[
\begin{array}{cccc}
 14\text{.}4 & 0 & 0 & 1 \\
1\text{.}8&12\text{.}6& 0& 1 \\
 14\text{.}4 & 14\text{.}4 & 0 & 1 \\
 14\text{.}4 & 14\text{.}4 & 14\text{.}4 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 14\text{.}4 & 1 \\
 14\text{.}4 & 0 & 14\text{.}4 & 1\\
 7\text{.}2&7\text{.}2&0&1\\
 14\text{.}4&7\text{.}2&7\text{.}2&1\\
 7\text{.}2&0&7\text{.}2&1
\end{array}\right]& ; &
S_i=\left[
\begin{array}{ccc}
 65\text{.}19& 39\text{.}3& 1\\
 45\text{.}79&5\text{.}15& 1\\
 99\text{.}69&23\text{.}35&1\\
 99\text{.}55&87\text{.}49&1\\
 19\text{.}83& 25\text{.}33& 1\\
 10\text{.}16& 81\text{.}14& 1\\
 61\text{.}52& 85\text{.}58&1\\
 56\text{.}37&23\text{.}99&1\\
 78\text{.}25&57\text{.}93&1\\
 41\text{.}49&57\text{.}29&1
\end{array}
\right]
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{equation*}
P=\left[
\begin{array}{cccc}
 -0\text{.}126195 & -0\text{.}0154735 & 0\text{.}0224553 & -0\text{.}598582 \\
 -0\text{.}047378 & 0\text{.}0594941 & -0\text{.}100067 & -0\text{.}779932 \\
 -0\text{.}000451098 & 0\text{.}000736939 & 0\text{.}000222169 & -0v0306284
\end{array}
\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
K = \left[\begin{array}{ccc}
-130\text{.}0555&  0\text{.}8049& 63\text{.}4632\\
0\text{.}0& 130\text{.}1217& 54\text{.}0046\\
0\text{.}0& 0\text{.}0& 1\text{.}0
\end{array}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
C=\left[\begin{array}{c}
-6\text{.}1702\\
 33\text{.}2872\\
 14\text{.}9179
 \end{array}\right]
\end{equation*}

\subsection*{Conculsiones}
Durante los primeros experimentos, con pocos puntos (7 pts.), se observ\'o que la exactitud en la obtenci'on de las medidas tanto en el mundo real tanto como en la imagen en 2D es indispensable para la correcta obtenci\'on de los par\'ametros internos y posici'on de la c\'amara. El centro de la imagen se aproxima al valor ideal y la posici'on de la c'amara es congruente con la imagen. En experimentos posteriores, tomando m'as puntos, el error no mejor\'o considerablemente, se observ'o que no importa cuantos puntos se tomen como referencia para al c\'alculo de los par'ametros sino que m'as bien es importante la exactitud en las mediciones, puesto que al tomar m'as puntos siempre se va tener un margen de error en cada uno de ellos al igual que si tomamos s\'olo unos pocos. Al final se tomaron 10 puntos para este ejercicio.
