\section{Convoluci\'on}
\noindent
Dada la expresi'on de la convoluci'on:
\begin{equation*}
y(n)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty}x(k,l)h(n-k,m-l)
\end{equation*}
demuestre a trav'es de la convoluci\'on de dos o m'as im'agenes que esta es:
\begin{enumerate}
\item Conmutativa.
\item Asociativa.
\item Invariante a la traslaci'on.
\item Lineal.
\end{enumerate}

\subsection*{Desarrollo}
Dadas las imagenes:
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure[Im ]{\label{fig:t6f5}\includegraphics[scale=0.5]{Tareas/Tarea6/images/Lena.eps}} 
    \subfigure[$K_1$ ]{\label{fig:t6f6}\includegraphics[scale=0.65]{Tareas/Tarea6/images/Kernel.eps}}\\
    \subfigure[$K_2$]{\label{fig:t6f8}\includegraphics[scale=0.65]{Tareas/Tarea6/images/Kernel2.eps}} 
    \subfigure[$K_3$]{\label{fig:t6f9}\includegraphics[scale=0.5]{Tareas/Tarea6/images/Kernel3.eps}}
  \end{center}
  \label{fig:t6f7}
\end{figure}
cada una de 201$\times$201 pixeles se obtuvieron los resultados que se muestran en las siguientes secciones.
\newpage
\subsubsection*{Comnutatividad}
\begin{equation*}
f_1\otimes f_2=f_2\otimes f_1
\end{equation*}
Los resultados son:
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure[Im $\otimes K_1$]{\label{fig:t6f3}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Conm1.eps}} 
    \subfigure[$K_1 \otimes$ Im]{\label{fig:t6f4}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Conm2.eps}}
  \end{center}
  \caption{Conmutatividad.}
  \label{fig:t6f5}
\end{figure}

\subsubsection*{Asociatividad}
\begin{equation*}
(f_1\otimes f_2)\otimes f_3=f_1\otimes(f_2\otimes f_3)
\end{equation*}
Los resultados son:
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure[(Im$\otimes K_1)\otimes K_3$]{\label{fig:t6f6}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Asoc1.eps}} 
    \subfigure[Im$\otimes (K_1\otimes K_3)$]{\label{fig:t6f7}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Asoc2.eps}}
  \end{center}
  \caption{Asiciatividad.}
  \label{fig:t6f8}
\end{figure}

\subsubsection*{Invarriabilidad a traslaci'on}
Hata ahora hemos convolucionado im'agenes considerando que estas se inician en el origen en ambas dimensiones. Para probar que la convoluci'on es invariate a la traslaci'on trasladaremos a la imagen \textbf{Im} 50 pixeles en ambas dimensiones obteniendo:
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \label{fig:t6f9}
   \includegraphics[width=0.3\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Trans}
  \end{center}
  \caption{Imagen trasladada.}
  \label{fig:f10}
\end{figure}
al convlolucionar la imagen trasladada con $K_3$ obtenemos los siguientes resultados:
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure[Translate(Im) $\otimes K_1$]{\label{fig:t6f11}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Conm1.eps}} 
    \subfigure[Im $\otimes K_1$]{\label{fig:t6f12}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Conm2.eps}}
  \end{center}
  \caption{Invarianza a traslaci'on.}
  \label{fig:t6f13}
\end{figure}

\subsubsection*{Linealidad}
\begin{equation*}
y_1(n)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty}x_1(k,l)h(n-k,m-l)
\end{equation*}
\begin{equation*}
y_2(n)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty}x_2(k,l)h(n-k,m-l)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty}[x_1(k,l)+x_2(k,l)]h(n-k,m-l)=y_1(n)+y_2(n)
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
    \subfigure[Im$+ K_3$]{\label{fig:t6f14}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Add1.eps}} 
        \subfigure[Im$\otimes K_1$]{\label{fig:t6f17}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/linaux1.eps}} 
    \subfigure[$K_3\otimes K_1$]{\label{fig:t6f18}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/linaux12.eps}}\\
    \subfigure[(Im$+ K_3)\otimes K_1$]{\label{fig:t6f15}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Lin1.eps}}
    \subfigure[(Im$\otimes K_1)+(K_3\otimes K_1)$]{\label{fig:t6f19}\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Tareas/Tarea6/images/Lin2.eps}}
    \end{center}
    
 % \caption{Asiciatividad.}
  \label{fig:t6f16}
\end{figure}
