\section{C\'alculo de la Transformada Discreta de Fourier}
\noindent

\begin{enumerate}
	\item Dada la se\~nal
		\begin{equation*}
			X[n]=sen\left(\frac{6\pi}{N}\right)n
		\end{equation*}
		con N=10 calcular la TDF resolviendo el sistema $\Phi a=X$.
	\item  Dada la se\~nal
		\begin{equation*}
			X[n]=\begin{cases}
          0 &\text{si} \quad n < n_0 \\
           \hfill 1 &\text{si} \quad n_0\leq x < n_1 \\
           \hfill 0 &\text{si} \quad n \geq n_0 \\
         \end{cases}
		\end{equation*}
	\item Dado $a$ de 2 calcular la anti-transformada discreta de fourier activando los coeficientes $[0]$, $[0,1]$, $[0,1,2]$, ..., $[0-(N-1)]$.
\end{enumerate}

\noindent
Desarrollo
Existe una familia de exponenciales complejas con periodo N dadas por:
\begin{equation*}
\Phi_k(n)= e^{jk\left(\frac{2\pi}{N}\right)n}=cos\left(\frac{k2\pi n}{N}\right)+jsen\left(\frac{k2\pi n}{}\right)
\end{equation*}
Con esto podemos llegar a hacer la representaci' on de una se\~nal peri'odica como la combinaci'on de se\~nales complejas tal que:
\begin{equation*}
	X[N]=\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}a_k\Phi_k(n)
\end{equation*}

Para determinar los coeficientes de Fourier tenemos un sistema lineal $\Phi a=X$ en forma matricial:
%\begin{figure}[!htbp]
%\begin{center}
%    \subfigure{\label{fig:t8f21}\includegraphics[width=0.8\textwidth]{sistema}}
%   \end{center}
%  \label{fig:t8f20}
%\end{figure}

\subsubsection*{1.}
Resolviendo el sistema $\Phi A=X$, encontrando la inversa de la matriz $\Phi$ calculamos $a$:
\begin{equation*}
A=\left[
\begin{array}{c}
 0.0000 + 0.0000i\\
   0.0000 + 0.0000i\\
   0.0000 + 0.0000i\\
   0.0000 + 0.5000i\\
   0.0000 - 0.0000i\\
   0.0000 - 0.0000i\\
  -0.0000 - 0.0000i\\
  -0.0000 - 0.5000i\\
  -0.0000 + 0.0000i\\
   0.0000 + 0.0000i
\end{array}
\right]
\end{equation*}

\subsubsection*{2.}
Tomando $N=10$, $n_0=4$ y $n_1=6$ obtenemos la se\~nal:
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
    \subfigure{\label{fig:t8f22}\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Tareas/Tarea8/images/2-10.eps}}
   \end{center}
  \label{fig:t8f23}
\end{figure}

Resolviendo el sistema $\Phi A=X$:
\begin{equation*}
A=\left[
\begin{array}{c}
0.2000 + 0.0000i\\
  -0.1118 + 0.1539i\\
  -0.0500 - 0.1539i\\
   0.1118 + 0.0363i\\
  -0.0500 + 0.0363i\\
  -0.0000 - 0.0000i\\
  -0.0500 - 0.0363i\\
   0.1118 - 0.0363i\\
  -0.0500 + 0.1539i\\
  -0.1118 - 0.1539i
  \end{array}
\right]
\end{equation*}
\subsubsection*{3.}
Dado que de 2 se obtuvo:
\begin{equation*}
A=\left[
\begin{array}{c}
0.2000 + 0.0000i\\
  -0.1118 + 0.1539i\\
  -0.0500 - 0.1539i\\
   0.1118 + 0.0363i\\
  -0.0500 + 0.0363i\\
  -0.0000 - 0.0000i\\
  -0.0500 - 0.0363i\\
   0.1118 - 0.0363i\\
  -0.0500 + 0.1539i\\
  -0.1118 - 0.1539i
  \end{array}
\right]
\end{equation*}
Procedemos a calcular la anti-transformada discreta de Fourier como: $X=\Phi A$, graficando la suma de las componentes en orden ascendente se muestra a continuaci\'on la evoluci\'on de la se\~nal resulante pero primeramente la imagen original.
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \label{fig:t8f2}
   \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Tareas/Tarea8/images/3-0-4.eps}
  \end{center}
  \caption{Suma de las componentes activando los coeficientes del 0 al 4.}
  \label{fig:t8f}
\end{figure}

\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \label{fig:t8f2}
   \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Tareas/Tarea8/images/3-5-9.eps}
  \end{center}
  \caption{Suma de las componentes activando los coeficientes del 5 al 9 a parte de los anteriormente activados.}
  \label{fig:t8f}
\end{figure}
