\section{Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier}
\noindent
\begin{enumerate}
\item Demostrar las propiedades de la transformada de Fourer  mediante el uso de im \'agenes.
\item Demostrar la transformada de Fourier en dos dimensiones para las se\~nales
\begin{itemize}
\item Impulso unitario
\item Constante
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection*{Propiedades}
\subsubsection*{Linealidad}
Esta propiedad nos dice que es equivalente multiplicar dos se\~nales por determinado factor cada una y despu\'es sumarlas a multiplicar las transformadas de Fourier por los mismos factores respectivamente y llevar a cabo la suma en el dominio de la frecuencia, es decir:
\begin{equation*}
ax(n)+by(n) \longrightarrow aX(k)+bY(k)
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure{\label{fig:t9f20}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/x.eps}}
    \subfigure{\label{fig:t9f21}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/y.eps}} 
   \end{center}
  \caption{Im \'agenes originales.}
  \label{fig:t9f19}
\end{figure}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure[Suma en el tiempo.]{\label{fig:t9f23}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/axby}}
    \subfigure[Transformada inversa de la suma en frecuencia.]{\label{fig:t9f24}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/faxby.eps}} 
      \end{center}
  \caption{Comparaci\'on de resultados en tiempo y frecuencia.}
  \label{fig:t9f22}
\end{figure}
En las im \'agenes se muestra primero las im\'agenes originales y  la comparaci\'on de las operaciones en ambos dominios. Las imagenes $x$ y $y$ fueron multiplicadas respectivamente por los factores $a=2.0$ y $b=5.0$.
\newpage
\subsubsection*{Desplazamiento en tiempo}
Esta propiedad nos nos dice que desplazar una imagen en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar su transformada de Fourier por la exponencial compleja que correspondiente a $n_0$ y $m_0$, es decir:
\begin{equation*}
x(n-n_0,m-m_0)\longrightarrow e^{-j\left(\frac{2\pi}{N}\right)(n_0k+m_0l)}X(k)
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure[Imagen original.]{\label{fig:t9f2}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/desptiemporig.eps}}\\
    \subfigure[Imagen desplazada en tiempo.]{\label{fig:t9f3}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/desptiempo.eps}} 
    \subfigure[Transformada inversa de operaci \'on en frec .]{\label{fig:t9f4}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/desptiempo2.eps}} 
      \end{center}
  \caption{Comparaci\'on de resultados en tiempo y frecuencia.}
  \label{fig:t9f1}
\end{figure}
En las im \'agenes anteriores se muestra la equivalencia de las operaciones en los dos dominios con un desplazamiento en el tiempo de $n_0=50$ y $m_0=80$.

\subsubsection*{Desplazamiento en frecuencia}
Desplazar una se\~nal, en este caso una imagen, en el dominio de la frecuencia equivale a multiplicar la imagen original en el dominio del tiempo por la exponencial compleja correspondiente a $n_0$  y $m_0$, es decir:
\begin{equation*}
e^{j\left(\frac{2\pi}{N}\right)(n_0k+m_0l)}x(n) \longrightarrow X(k-k_0,l-l_0)
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure[Imagen original.]{\label{fig:t9f5}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/desptiemporig.eps}}\\
    \subfigure[Operacion en dominio del tiempo.]{\label{fig:t9f6}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/despfrec.eps}} 
    \subfigure[Transformada inversa de despl en frec.]{\label{fig:t9f7}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/despfrec2.eps}} 
      \end{center}
  \caption{Comparacion de resultados en tiempo y frecuencia.}
  \label{fig:t9f4}
\end{figure}
En las im\'agenes se muestra la equivalencia de estas operaciones en ambos dominios con un desplazamiento en frecuencia de $n_0=2$ y $m_0=5$.

\subsubsection*{Simetr\'ia de se\~nal real y par}
Esta propiedad nos dice que la transformada de Fourier de una se\~nal real y par es una se\~nal con parte real  \'unicamente y que tambi\'en es par, es decir:
\begin{equation*}
x(n,m) \text{ real y par } \longrightarrow X(k,l)\text{ real y par }
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure[Imagen real-par.]{\label{fig:t9f9}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/real-par.eps}}\\
    \subfigure[Parte real de la transformada inversa.]{\label{fig:t9f10}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/ifftreal-par.eps}} 
    \subfigure[Parte imag. de la transformada inversa.]{\label{fig:t9f11}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/offtimag-par.eps}} 
      \end{center}
  \caption{Operadores de ventana.}
  \label{fig:t9f8}
\end{figure}
Con el objeto de visualizar mejor lo que se explica acerca de esta propiedad, en las im\'agenes se muestra ambas partes (real e imaginaria) al aplicar transformada inversa y con lo cual se observa que s\'olo hay la parte real.
\newpage
\subsubsection*{Simetr\'ia de se\~nal real e impar}
Esta propiedad nos dice que la transformada de Fourier de una se\~nal real e impar es una se\~nal con parte imaginaria \'unicamente y que es impar, es decir:
\begin{equation*}
x(n) \text{ real y par } \longrightarrow X(k)\text{ real y par }
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure[Imagen real-par.]{\label{fig:t9f13}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/real-impar.eps}}\\
    \subfigure[Parte real de la transformada inversa.]{\label{fig:t9f14}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/ifftreal-impar.eps}} 
    \subfigure[Parte imag de la transformada inversa.]{\label{fig:t9f15}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/ifftimag-impar.eps}} 
      \end{center}
  \caption{Operadores de ventana.}
  \label{fig:t9f12}
\end{figure}
Para visualizar mejor lo que se explica acerca de esta propiedad, en las im\'agenes se muestra ambas partes (real e imaginaria) al aplicar transformada inversa y con lo cual se observa que s\'olo hay parte imaginaria.
\newpage
\subsubsection*{Parseval}
Esta propiedad nos habla de que la transformada de Fourier es una operaci\'on conservativa ya que al aplicarla, la magnitud del resultado es igual a la magnitud de la se\~nal original.
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}\mid x(n,m)\mid \longrightarrow NM\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{M-1}\mid X(k,l)\mid 
\end{equation*}
\begin{figure}[!htb]
  \begin{center}
   \subfigure[Imagen original.]{\label{fig:t9f17}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/parseval1.eps}}
    \subfigure[Magnitud de la transformada de Fourier.]{\label{fig:t9f18}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{Tareas/Tarea9/images/parseval2.eps}}  
      \end{center}
  \caption{Imagen en tiempo y frecuencia.}
  \label{fig:t9f16}
\end{figure}
Al obtener la magnitud de ambas im\'agenes se obtuvieron los siguientes resultados:
\begin{equation*}
Magnitud(Imagen)= 1\text{.}875586515\times10^9
\end{equation*}
\begin{equation*}
Magnitud(TF(Imagen))= 1\text{.}8755865149999826\times10^9
\end{equation*}
con lo cual se comprueba la relaci \'on de Parseval.
\newpage
\subsection*{Demostraciones}
La transformada de Fourer en dos dimensiones se expresa:
\begin{equation*}
X(k,l)=\frac{1}{NM}\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\displaystyle\sum_{m=0}^{M-1}x(n,m)e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(nk+ml)}
\end{equation*}
\subsubsection*{Impulso un itario}
\begin{equation*}
\delta(n-n_o,m-m_o)=e^{-j\left(\frac{2\pi}{N}kn_0 + \frac{2\pi}{M}lm_0\right)}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\delta(n,m)=\begin{cases}
          1 &\text{si} \quad n=0 \text{ y } m=0 \\
           \hfill 0 &\text{en caso contrario} \\
         \end{cases}
\end{equation*}

La transformada de Fourier, de acuerdo a su expresi\'on, la calculamos:
\begin{equation*}
X(k,l)=\frac{1}{NM}\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\displaystyle\sum_{m=0}^{M-1}\delta(n-n_0,m-m_0)e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(nk+ml)}
\end{equation*}

Tenemos entonces que para cualquier valor de $m\neq m_0$ y $n\neq n_0$ la funci \'on impulso unitario $\delta(n,m)=0$.
\newline Por lo tanto la sumatoria se  reduce a:
\begin{equation*}
X(k,l)=\frac{1}{NM}e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(n_0k+m_0l)}=\frac{1}{NM}e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}n_0k+\frac{2\pi}{NM}m_0l\right)}
\end{equation*}

\subsubsection*{Constante}
Consideramos:
\begin{equation*}
x(n,m)=C
\end{equation*}
La transformada de Fourier, de acuerdo a su expresi \'on, es:
\begin{equation*}
X(k,l)=\frac{1}{NM}\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\displaystyle\sum_{m=0}^{M-1}Ce^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(nk+ml)}
\end{equation*}
\begin{equation*}
X(k,l)=\frac{C}{NM}\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\displaystyle\sum_{m=0}^{M-1}e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(nk+ml)}=\frac{C}{NM}\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\left[\displaystyle\sum_{m=0}^{M-1}e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(ml)}\right]e^{-j\left(\frac{2\pi}{NM}\right)(nk)}
\end{equation*}
La sumatoria interna equivale a M para $l=0$ y 0 para $l\neq0$ y la externa eqivale a MN para $k=0$ y 0 para $k\neq0$ por lo cual:
\begin{equation*}
FFT(C)=C\delta(k,l)
\end{equation*}

\noindent 
Conculsiones
Con el desarrollo de esta tarea se logr\'o una mejor comprensi\'on  de la transformada de Fourier la cual tiene aplicaciones importantes en el tratamiento dese\~nales y dise\~no de filtros digitales gracias a que, al aplicarla, nos permite representar una se\~nal en el dominio de la frecuencia y, a su vez, al aplicar la transformada inversa, regresar a la se\~nal original en el dominio del tiempo. Principalmente se observ\'o que gracias a sus propiedades es posible realizar ciertas operaciones en el dominio del tiempo y obtener los mismos resultados al hacerlas en el dominio de la frecuencia, algo que podemos aprovechar dependiendo de las caracter\'isticas del problema que queramos resolver ya que podemos deducir en que dominio conviene m\'as realizar la operaci\'on. 
