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\chapter[Procesamiento de Señales]{Procesamiento de Señales} 

\section{Definiciones.}

Representaremos a una señal discreta por $x(t)$ la cual pude ser función de una o varias variables. Esta señal discreta resulta de hacer la multiplicación de una señal continua por un tren de pulsos representados por

\[
x\left( t\right) =f\left( t\right) \delta (t-kT)
\]

donde $f\left( t\right) $ es una función continua y $\delta(t-kT)$ es un tren de pulsos unitarios con periodo $T$. La función $\delta (t)$ es la delta de dirac la cual toma el valor unitario cuando su argumento es cero (ver figura \ref{fig:pulsos}).

\begin{figure}[h!]
{\normalsize \centering
\centerline{\psfig{figure=figuras/pulsos.eps,width=8.0cm}} }
\caption{Multiplicación de una función por un tren de pulsos}
\label{fig:pulsos}
\end{figure}

\section{Señales pares e impares}

Podemos decir que una señal es par si es idéntica a su reflexión alrededor del origen, esto es

\[
x(-t)=x(t)
\]
y que es impar si
\[
x(-t)=-x(t)
\]

Una característica importante de cualquier señal, es que esta pude ser representada por la suma de una señal par y una señal impar
\[
x\left( t\right) =\mathcal{P}(x(t))+\mathcal{I}(x(t))
\]
donde la parte par la calculamos
\[
\mathcal{P}(x(t))=\frac{1}{2}\left[ x\left( t\right) +x(-t)\right]
\]
y la impar por
\[
\mathcal{I}(x(t))=\frac{1}{2}\left[ x\left( t\right) -x(-t)\right]
\]
ver \cite{Oppenheim97}

\subsection{Ejemplos.}

(a)\ Demostrar que si $x\left[ n\right] $ es discreta impar entonces

\[
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x[ n] =0
\]

Demostración: si, $x[n] $ es impar, entonces
\[
x[n] =-x[-n]
\]
es decir

\[
x[n] +x[-n] =0
\]

considerando

\[
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left[ n\right] =\sum_{n=-\infty }^{-1}x\left[
n\right] +x\left[ 0\right] +\sum_{n=1}^{\infty }x\left[ n\right]
\]

reordenando
\begin{eqnarray*}
\sum_{-\infty }^{\infty }x\left[ n\right] &=&x\left[ 0\right]
+\sum_{n=-\infty }^{-1}x\left[ n\right] +\sum_{n=1}^{\infty }x\left[ n\right]
\\
&=&x\left[ 0\right] +\sum_{n=1}^{\infty }x\left[ -n\right]
+\sum_{n=1}^{\infty }x\left[ n\right] \\
&=&x\left[0\right] -\sum_{n=1}^{\infty }x\left[ n\right] +x\left[ -n\right]
\end{eqnarray*}

con $x\left[ 0\right] =0$ y sustituyendo la definición de señal par en la ecuación anterior tenemos :

\begin{eqnarray*}
\sum_{-\infty }^{\infty }x\left[n\right] &=&0+\sum_{n=1}^{\infty }0 \\
\sum_{-\infty }^{\infty }x\left[ n\right] &=&0
\end{eqnarray*}
(b) Comprobar, si $x_{1}\left[ n\right] $ es impar y $x_{2}\left[ n\right] $
es par, entonces
\[
x_{1}\left[ n\right] \times x_{2}\left[ n\right] \Longrightarrow impar
\]

Comprobación: Hacemos que

\[
z\left[ n\right] =x_{1}\left[ n\right] \times x_{2}\left[ n\right]
\]

y
\[
z\left[ -n\right] =x_{1}\left[ -n\right] \times x_{2}\left[ -n\right]
\]

Además, sabemos que
\[
x_{1}\left[ n\right] =-x_{1}\left[ -n\right]
\]

y
\[
x_{2}\left[ n\right] =x_{2}\left[ -n\right]
\]

sustituyendo las ecuaciones tenemos

\[
z\left[ n\right] =-x_{1}\left[ -n\right] \times x_{2}\left[ -n\right]
\]

resulta
\[
z\left[ n\right] =-z\left[ -n\right]
\]

Lo cual implica que $z\left[ n\right] $ es impar, i.e. $x_{1}\left[ n\right]
\times x_{2}\left[ n\right] $ es impar.

(c) Considere que $x\left[ n\right] $ es una señal con parte par $\mathcal{P}%
\left( x\left[ n\right] \right) $ y parte impar $\mathcal{I}\left( x\left[
n\right] \right) ,$ demostrar que
\[
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x^{2}\left( n\right) =\sum_{n=-\infty }^{\infty
}P^{2}\left( x\left[ n\right] \right) +\sum_{n=-\infty }^{\infty
}I^{2}\left( x\left[ n\right] \right)
\]

Demostración: Hacemos

\begin{eqnarray*}
\mathcal{P}\left( x\left[ n\right] \right) &=&x_{p}\left[ n\right] \\
\mathcal{I}\left( x\left[ n\right] \right) &=&x_{i}\left[ n\right]
\end{eqnarray*}
y
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x^{2}\left[ n\right] &=&\sum_{n=-\infty }^{\infty
}\left[ x_{p}\left[ n\right] +x_{i}\left[ n\right] \right] ^{2} \\
&=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left( x_{p}^{2}\left[ n\right] +2x_{p}\left[
n\right] x_{i}\left[ n\right] +x_{i}^{2}\left[ n\right] \right)
\end{eqnarray*}

sustituyendo el término $x_{p}\left[n\right] x_{i}\left[ n\right] $ por $z\left[ n\right] $ y reordenando
\[
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x^{2}\left( n\right) =\sum_{n=-\infty }^{\infty
}\left( x_{p}^{2}\left[ n\right] +x_{i}^{2}\left[ n\right] \right)
+2\sum_{n=-\infty }^{\infty }z\left[ n\right]
\]

Como $z\left[ n\right] $ es el producto de una señal par y una impar, usamos
el resultado del inciso $b)$ y, concluimos que $z\left[ n\right] $ es impar.
Ahora, usando el resultado del inciso $a)$ sabemos que
\[
2\sum_{n=-\infty }^{\infty }z\left[ n\right] =0
\]

Si sustituimos este resultado en la ecuación tenemos que

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x^{2}\left[ n\right] &=&\sum_{n=-\infty }^{\infty
}\left( x_{p}^{2}\left[ n\right] +x_{i}^{2}\left[n\right] \right) \\
\sum_{n=-\infty }^{\infty }x^{2}\left[ n\right] &=&\sum_{n=-\infty }^{\infty
}x_{p}^{2}\left[n\right] +\sum_{n=-\infty }^{\infty }x_{i}^{2}\left[
n\right]
\end{eqnarray*}
Una señal es periódica si tiene la propiedad de tener un valor positivo $T$
para el cual
\[
x\left( t\right) =x\left( t+T\right) \text{ \ }\forall t
\]
en este caso diremos que la señal es periódica con periodo T

\section{Señales básicas de tiempo continuo.}

\subsection{Exponencial compleja y senoidal.}

La señal exponencial de tiempo continuo es de la forma
\[
x\left( t\right) =Ce^{at}
\]

donde $C$ y $a$ son, en general números complejos. Dependiendo de los valores de estos parámetros, la exponencial puede adoptar varias características diferentes. Una clase de exponenciales complejas que nos interesa es

\[
x\left( t\right) =e^{j w_{o}t}
\]

donde $w_{0}=2\pi f_{0}$ es definida como la velocidad angular en radianes por segundo y $f_{0}$ es la frecuencia en ciclos por segundo o Hertz. Utilizando la relación de Euler esta señal puede expresarse como

\[
x\left( t\right) =\cos \left( w_{0}t\right) +jsen\left( w_{o}t\right)
\]
Una propiedad importante de esta señal, es su periodicidad. Una señal es periódica si cada intervalo de tiempo $T$, tenemos un repetición de la señal.
Para verificar esta propiedad hacemos
\begin{eqnarray*}
e^{jw_{o}t} &=&e^{jw_{o}\left( t+T\right) } \\
e^{jw_{o}t} &=&e^{jw_{o}t}e^{jw_{o}T}
\end{eqnarray*}
para que esta ecuación se cumpla debemos tener que
\[
e^{w_{o}T}=1
\]
Existen dos posibilidades para que esta condición se cumpla: la primera
cuando $w_{o}=0$, la cual es periódica para cualquier valor de $T$, pero si $w_{o}\neq 0$, entonces tenemos que existe un valor $T_{o}$ al cual llamamos periodo fundamental y esta dado por la ecuación
\[
T_{o}=\frac{2\pi }{\left| w_{0}\right| }
\]

\subsection{Función escalón unitario e impulso unitario.}

Otra señal de interés es la función escalón unitario la cual esta dada por
\[
u\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{c}
0,\text{ \ }t<0 \\
1,\text{ \ }t>0
\end{array}
\right.
\]

Otra señal bastante ótil es la función impulso unitario de tiempo continuo
la cual estó relacionada con el escalón unitario por la ecuación
\[
u\left( t\right) =\int_{-\infty }^{t}\delta \left( \tau \right) d\tau
\]

