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\chapter[Convolución]{Convolución}

\section{Correlación}

Consideremos dos señales $x$ y $y$, donde $x=[y_{i},y_{i+1},\cdots y_{i+N}]$ es un subconjunto de los valores de la señal $y=[y_{0},y_{1},y_{2},\cdots, y_{M}]$. óEn que punto la señoal $x$ empatará mejor con la señal $y$.
Comenzaremos por utilizar como medida de similitud el producto escalar de vectores, así el ángulo entre estas dos señales lo podemos calcular como
\[
cos(\theta )=\frac{x^{T}\widehat{y}}{|x||\widehat{y}|}
\]
donde $\widehat{y}=[y_{j},y_{j+1}\cdots ,y_{j+N}]$ y $\theta $ es el ángulo entre los dos vectores. Note que cuando los dos vectores son iguales tendremos que el ángulo es cero, el valor máximo será dado por $|x|^{2}$ y que el producto $x^{T}\widehat{y}$ tenderá a este máximo.

El producto de $x^{T}\widehat{y}$ lo podemos calcular como
\[
r_{yx}=\sum_{k=0}^{N}x(k)\widehat{y}(k)
\]
dado que $\widehat{y}$ es un subconjunto de $y$, si aplicamos un desplazamiento podemos calcular el producto $x^{T}\widehat{y_{n}}$ en las $n$ posiciones posibles de la serie con la siguiente expresión
\[
r_{xy}(n)=\sum_{k=0}^{N}x(k)y(k+n)
\]
La cross--correlación de las señales $x\left( n\right) $ y $y\left( n\right)$ es la secuencia $r_{xy}\left( n\right) $ definida por
\begin{eqnarray*}
r_{xy}\left( n\right) =\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left( k\right) y\left(
k+n\right) \\
r_{xy}\left( t\right) =\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \tau \right) y\left(
\tau +t\right) d\tau
\end{eqnarray*}
La función de correlación suministra una medida de la similitud o inter--dependencia entre las funciones $x$ y $y$.

\subsection{Propiedades}

\subsubsection{Conmutación}

Demostrar que la función de correlación y auto--correlación no son conmutativas, es decir
\begin{eqnarray*}
r_{xy}\left( t\right) =r_{yx}\left( -t\right) \\
r_{xx}\left( t\right) =r_{xx}\left( -t\right)
\end{eqnarray*}
para ello hacemos
\[
r_{xy}=\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \tau \right) y\left( \tau +t\right)
d\tau
\]
y sustituimos $\widehat{\tau }=\tau +t$%
\[
r_{yx}(-t)=\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \widehat{\tau }-t\right) y\left(
\widehat{\tau }\right) d\widehat{\tau }
\]
en el caso de la auto--correlación tenemos
\[
r_{xx}=\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \tau \right) x\left( \tau +t\right)
d\tau
\]
y sustituimos $\widehat{\tau }=\tau +t$
\[
r_{xx}(-t)=\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \widehat{\tau }-t\right) x\left(
\widehat{\tau }\right) d\widehat{\tau }
\]
Lo cual significa que la correlación no es conmutativa.

\subsubsection{Invariancia a traslación}

Es la correlación invariantes a traslación.
\[
r_{xy}=\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \tau +a\right) y\left( \tau
+t\right) d\tau
\]
si sustituimos
\begin{eqnarray*}
\widehat{\tau }=\tau +a \\
\tau =\widehat{\tau }-a
\end{eqnarray*}
\[
\int_{-\infty }^{\infty }x\left( \widehat{\tau }\right) y\left( \widehat{%
\tau }+(t-a)\right) d\tau =r_{xy}\left( t-a\right)
\]
dado lo anterior la correlación no es invariante a traslación.

\subsubsection{Linealidad}

Pero, Será lineal la correlación?
\begin{eqnarray*}
r_{xy}\left( t\right) =\int_{-\infty }^{\infty }\left[ x_{1}\left( \tau
\right) +x_{2}\left( \tau \right) \right] y\left( \tau +t\right) d\tau \\
=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left( \tau \right) y\left( \tau +t\right)
d\tau +\int_{-\infty }^{\infty }x_{2}\left( \tau \right) y\left( \tau
+t\right) d\tau \\
=r_{x_{1}y}+r_{x_{2}}y
\end{eqnarray*}
si es una transformación lineal la correlación.

\subsection{Ejemplo}

Suponga una señal $x(t)=[0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,\ldots ]$ (Fig. \ref{fig1:a}) y una señal $y(t)=[0,1,2,3,4]$ (Fig. \ref{fig1:b}). La correlación entre ambas señales, se muestra en la Fig. \ref{fig1:c}. Note que los máximos se obtienen cuando la señal $y$ empata perfectamente con x.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
{\normalsize \subfigure[$x(t)$ \label{fig1:a}]{%
\psfig{figure=figuras/x.eps,width=5.0cm}} \hfill \subfigure[$y(t)$ \label{fig1:b}]{%
\psfig{figure=figuras/y.eps,width=5.0cm}} \subfigure[$z(t)$ correlación entre $x(t)$
y $y(t)$\label{fig1:c}]{\psfig{figure=figuras/z.eps,width=5.0cm}} \label{fig1} }
\end{center}
\caption{Correlación}
\end{figure}

\subsection{Correlación en dos dimensiones}

Si la señal esta en dos dimensiones, como es el caso de imágenes la correlación se representa como
\[
r_{xy}(n,m)=\sum_{k=-n_{k}}^{n_{k}}\sum_{l=-n_{l}}^{n_{l}}x(k,l)*y(k+n,l+m)
\]

\section{Representación de señales en términos de impulsos.}

La función impulso unitario, puede utilizarse para construir una clase amplia de señales. Para ilustrar como funciona consideremos que tenemos una señal discreta dada por $x(n)$. Si queremos ver un parte de la señal en cierto instante de tiempo multiplicamos la señal de entrada por un impulso en el instante que deseamos analizar, así por ejemplo:
\begin{eqnarray*}
x\left( -1\right) \delta (n+1)=\left\{
\begin{array}{c}
x\left( -1\right) \text{ si n=-1} \\
0\text{ \ \ \ \ si no}
\end{array}
\right. \\
x\left( 0\right) \delta (n+0)=\left\{
\begin{array}{c}
x\left( 0\right) \text{ si n=0} \\
0\text{ \ \ \ \ si no}
\end{array}
\right. \\
x\left( 1\right) \delta (n-1)=\left\{
\begin{array}{c}
x\left( 1\right) \text{ si n=1} \\
0\text{ \ \ \ \ si no}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
por lo tanto la suma suma de estos términos me da la señal $x$. Matemáticamente podemos expresar esta suma como
\[
y\left( n\right) =\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left( k\right) \delta \left(
n-k\right)
\]
esta ecuación es llamada la propiedad de escudriñamiento del impulso unitario.

\section{Convolución}

Podemos extender el concepto sustituyendo la función impulso por cualquier
otra función, así obtenemos la expresión de la convolución.
\[
y\left( n\right) =\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left( k\right) h\left(
n-k\right)
\]
note que también es un sistema LIT. La convolución la podemos representar
por $y=x*h$

\subsection{Propiedades}

\subsubsection{Conmutación}

La convolución es conmutativa es decir

\[
f_{1}*f_{2}=f_{2}*f_{1}
\]
demostración, para probar la propiedad conmutativa hacemos
\[
f_{1}*f_{2}=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left( k\right) f_{2}\left(
n-k\right)
\]
haciendo el cambio de variable $\widehat{k}=n-k$ tenemos
\[
\sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left( n-\widehat{k}\right) f_{2}\left(
\widehat{k}\right) =f_{2}*f_{1}
\]

\subsubsection{Asociativa}

La propiedad asociativa consiste en
\[
(f_{1}*f_{2})*f_{3}=f_{1}*(f_{2}*f_{3})
\]
para demostrar la propiedad asociativa hacemos $f_{1}*f_{2}=g$ y $f_{2}*f_{3}=h$
\[
g*f_{3}=f_{1}*h
\]
puesto que
\[
g\left( n\right) =\sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left( k\right)
f_{2}\left( n-k\right)
\]
se tiene que
\begin{eqnarray*}
g\left( n\right) *f_{3}\left( n\right) =\sum_{j=-\infty }^{\infty }g\left(
j\right) f_{3}\left( n-j\right) \\
=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\left[ \sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left(
k\right) f_{2}\left( j-k\right) \right] f_{3}\left( n-j\right)
\end{eqnarray*}
sustituyendo $l=j-k$ y cambiando el orden de las sumatorias
\begin{eqnarray*}
=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left( k\right) \sum_{l=-\infty
}^{\infty
}f_{2}\left( l\right) f_{3}\left( n-\left( l+k\right) \right) \\
=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left( k\right) \sum_{l=-\infty
}^{\infty
}f_{2}\left( l\right) f_{3}\left( \left( n-k\right) -l\right) \\
=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f_{1}\left( k\right) h\left( n-k\right) \\
=f_{1}*h
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Invariancia a traslación}

Para probar que la convolución es un sistema invariante a traslación hacemos la convolución de la señal $x(k)$ trasladada un valor $k_{0}$
\[
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left( k-k_{0}\right) h\left( n-k\right)
\]
haciendo $\widehat{k}=k-k_{0}$ tenemos:
\begin{eqnarray*}
\sum_{\widehat{k}=-\infty }^{\infty }x\left( \widehat{k}\right) h\left(
n-\left( \widehat{k}+k_{0}\right) \right) \\
\sum_{\widehat{k}=-\infty }^{\infty }x\left( \widehat{k}\right) h\left(
\left( n-k_{0}\right) -\widehat{k}\right) \\
=y(n-k_{0})
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Linealidad}

Para probar que se trata de un sistema lineal, calculamos la convolución de la suma de dos señales $x_{1}$ y $x_{2}$
\begin{eqnarray*}
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }\left[ x_{1}\left( k\right) +x_{2}\left(
k\right) \right] h\left( n-k\right) \\
=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x_{1}\left( k\right) h\left( n-k\right)
+\sum_{k=-\infty }^{\infty }x_{2}\left( k\right) h\left( n-k\right) \\
=y_{1}(n)+y_{2}(n)
\end{eqnarray*}

\subsection{Sucesión útil}

Una sucesión que nos será especialmente útil para realizar los cálculos de
convolución y correlación es la sucesión geométrica
\[
s_{N}=\sum_{n=0}^{N}a^{n}=1+a+a^{2}+...+a^{N}
\]
para esta serie podemos ver
\begin{eqnarray*}
s_{N}=1+a(1+a+a^{2}+...+a^{N-1}) \\
=1+as_{N-1}
\end{eqnarray*}
que pasa si multiplicamos $s_{N}$ por $\left( 1-a\right) $%
\begin{eqnarray*}
\left( 1-a\right) s_{N}=\left( 1+a+a^{2}+...+a^{N}\right) - \\
=\left( a+a^{2}+a^{3}...+a^{N+1}\right) \\
=1-a^{N+1}
\end{eqnarray*}
de lo cual concluimos que
\[
s_{N}=\frac{1-a^{N+1}}{1-a}
\]

Esta serie será convergente en el caso de que $\left| a\right| <1$ y divergente en el caso de que $\left| a\right| >1$. Lo cual lo podemos verificar haciendo
\[
\lim_{N\rightarrow \infty }a^{N}=0
\]
y el valor de convergencia lo podemos calcular con
\[
s_{N}=1+as_{N-1}
\]
en el lómite $s_{N}=s_{N-1}=r$%
\begin{eqnarray*}
r=1+ar \\
r(1-a)=1 \\
r=\frac{1}{1-a}
\end{eqnarray*}

En el caso de que $\left| r\right| =1$, la serie converge al valor de
\begin{eqnarray*}
s_{N}=\sum_{n=0}^{N}1^{n}=1+1+1^{2}+...+1^{N} \\
=N+1
\end{eqnarray*}
y en el caso de $\left| r\right| >1$ la serie diverge
\[
\lim_{N\rightarrow \infty }a^{N}\neq 0
\]

\subsection{Ejemplos}
\subsubsection{Ejemplo 1}

Considere una señal $x(n)=\alpha ^{n}$ y un kernel dado por $h\left(
n\right) =\beta ^{n}$. Calcular la convolución de estas dos señales.
\begin{eqnarray*}
y\left( n\right) =\sum_{k=0}^{N-1}\alpha ^{k}\beta ^{\left( n-k\right) } \\
y\left( n\right) =\sum_{k=0}^{N-1}\alpha ^{k}\beta ^{n}\beta ^{-k} \\
y\left( n\right) =\beta ^{n}\sum_{k=0}^{N-1}\left( \frac{\alpha }{\beta }%
\right) ^{k} \\
y\left( n\right) =\beta ^{n}\frac{1-\left( \frac{\alpha }{\beta }\right) ^{N}%
}{1-\frac{\alpha }{\beta }}
\end{eqnarray*}
si quisieramos calcular la correlación hacemos
\begin{eqnarray*}
y\left( n\right) =\sum_{k=0}^{N-1}\alpha ^{k}\beta ^{\left( k-n\right) } \\
y\left( n\right) =\sum_{k=0}^{N-1}\alpha ^{k}\beta ^{-n}\beta ^{k} \\
y\left( n\right) =\beta ^{-n}\sum_{k=0}^{N-1}\left( \alpha \beta \right) ^{k}
\\
y\left( n\right) =\beta ^{-n}\frac{1-\left( \alpha \beta \right) ^{N}}{%
1-\left( \alpha \beta \right) }
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Ejemplo 2}

Mostrar que la convolución de una señal impulso unitario con un kernel
cualquiera es el mismo kernel
\[
\delta (n)*h(n)=h(n)
\]
prueba

Por definición tenemos

\[
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)h(n-k)
\]
para nuestro caso sustituimos $x(n)$ por la función impulso $\delta (n)$ dando lugar a
\[
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }\delta (k)h(n-k)
\]
recordemos que la función impulso, será igual a $1$ solo cuando su argumento es cero, por lo cual
\begin{eqnarray*}
y(n)=\cdots +0\times h(n-1)+1\times h(n)+0\times h(n+1)+\cdots \\
y(n)=h(n)
\end{eqnarray*}

Por esta propiedad al kernel se le conoce también como respuesta al impulso.

\subsubsection{Ejemplo 3}

Mostrar que dado $y(n) = x(n)*h(n)$ podemos hacer $y'(n) = x(n)*h'(n)$

Por definición tenemos
\begin{equation*}
 y(n) = \sum _{k=-\infty}^ {\infty}x(k)*h(n-k)
\end{equation*}
y que la derivada de una función discretizada puede ser representada por $y'(n) = y(n)-y(n-1)$ tenemos

\begin{eqnarray*}
y(n)-y(n-1) = \sum _{k=-\infty}^ {\infty}x(k)*h(n-k) - \sum
_{k=-\infty}^ {\infty}x(k)*h((n-1)-k) \\
y(n)-y(n-1) = \sum _{k=-\infty}^ {\infty}x(k)*\left [ h(n-k) -h((n-1)-k) \right ] \\
y'(n)=\sum _{k=-\infty}^ {\infty}x(k)* h'(n-k) \\
\end{eqnarray*}


\section{Algunos kerneles interesantes}

\subsection{Suavizadores}

\subsubsection{Caja}

Para implementar este suavizador, en una dimension, utilizamos una señal dada como $h(n)=[0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]$

En dos dimensiones, podemos implementar este kernel de manera separada si hacemos la siguiente operación

\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) *\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
En la figura \ref{fig:caja} y \ref{fig:caja2d}, se presentan gráficamente, los kerneles para suavizadores de caja en una y dos dimensiones

\subsubsection{Binomial}

Este kernel esta basado en los coeficientes binomiales. Una manera fácil de calcularlo es utilizar un triángulo de Pascal, de la siguiente forma. 

\begin{center}
1,1
1,2,1
1,3,3,1
1,4,6,4,1
1,5,10,10,5,1
1,6,15,20,15,6,1
\end{center}

Dado $b_{1}=[1,1]$ podemos calcular

\begin{eqnarray*}
b_{2}=b_{1}*b_{1} \\
b_{3}=b_{2}*b_{1} \\
b_{4}=b_{3}*b_{1} \\
\vdots \\
b_{k+1}=b_{k}*b_{1}
\end{eqnarray*}

Para su implementación este kernel es normalizado para que su suma de 1. En dos dimensiones de manera separable se puede implementar como

\[
B_{3}=b_{3}*b_{3}
\]

Note que este kernel es recursivo.

\[
\frac{1}{4}\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) *\frac{1}{4}\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) =\frac{1}{16}\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 4 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]

\subsubsection{Gaussiano}

Este kernel es creado utilizando una campana de Gauss. Par calcularla utilizamos la expresión

\[
g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp ^{\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}
\]
donde: $\mu $ es la media de la distribución y $\sigma $ es la varianza. En nuestro caso la media la consideraremos cero y la varianza la utilizaremos como una estimación del tamaóo del kernel.

En dos dimensiones calcularemos nuestro kernel de manera desacoplada haciendo $g(x,y)=g(x)*g(y)$. En la figura \ref{fig:gausiana} se muestra el kernel Gaussiano en una dimensión y \ref{fig:gaussiana2d} en dos
dimensiones.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
{\normalsize 
\subfigure[Caja en 1d\label{fig:caja}]{\psfig{figure=figuras/caja.eps,width=3.5cm}} \hfill 
\subfigure[Binomial 1d\label{fig:binomial}]{\psfig{figure=figuras/binomial.eps,width=3.5cm}} \hfill 
\subfigure[Gaussiano 1d\label{fig:gausiana}]{\psfig{figure=figuras/gaussiana.eps,width=3.5cm}}
}
\par
{\normalsize \subfigure[Caja 2d\label{fig:caja2d}]{%
\psfig{figure=figuras/caja2d.eps,width=3.5cm}} \hfill 
\subfigure[Binomial 2d\label{fig:binomial2d}]{\psfig{figure=figuras/binomial2d.eps,width=3.5cm}} \hfill
\subfigure[Gaussiano 2d\label{fig:gaussiana2d}]{\psfig{figure=figuras/gaussiana2d.eps,width=3.5cm}} }
\end{center}
\caption{Kerneles para suavizado de señales en una y dos dimensiones}
\end{figure}

\subsection{Derivadas}

\subsubsection{Derivada en $x$ y $y$}

La derivada de una función esta definida como
\[
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}
\]
considerando un incremento unitario, que para el caso discreto es el más pequeño y que la señal fue capturada con una frecuencia de muestreo adecuada tenemos que la derivada la podemos aproximar por
\[
\frac{df(x)}{dx}\thickapprox f(x)-f(x-h)
\]
De la expresión anterior podemos ver que el kernel de derivadas seró $d(n)=[1-1]$, asó la derivada la calcularemos como $y(n)*d(n)$.

Para calcular las derivadas de orden N, solamente debemos recordar que se debe aplicar sucesivamente la derivada de orden uno, con ello damos lugar a la siguiente familia de kerneles.

\begin{center}
+1,-1
+1,-2,+1
+1,-3,+3,-1
+1,-4,+6,-4,-1
\end{center}

\subsubsection{Derivadas de Gaussianas}

Un problema que presenta el cólculo de las derivadas utilizando convolución es que son amplificadores de ruido. Esto quiere decir que si la señal presenta ruido, la señal resultante de la convolución, el ruido será más notorio. Una manera de eliminar el ruido de una señal es aplicar un suavizador, el mós apropiado es el suavizado Gaussiano \cite{Jahne02}. Así pues, para eliminar el ruido, es deseable primero convolucionamos con un kernel gaussiano y luego aplicamos un kernel de derivadas de la siguiente forma
\[
y(n)=(x(n)*h(n))*d(n)=x(n)*(h(n)*d(n))=x(n)*\frac{dg(x)}{dx}
\]
Resulta que tanto $h(n)$ y $d(n)$ son aproximaciones de una Gaussiana y una derivada respectivamente, y que ambos dan lugar a un nuevo kernel, pero es más inteligente calcular este kernel como la derivada de una función gaussiana. El kernel de derivada Gaussiano es
\[
\frac{dg(x)}{dx}=\frac{-x}{\sigma ^{2}}\left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }%
\exp ^{\frac{-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]
\]
El kernel de segunda derivada es
\[
\frac{d^{2}g(x)}{dx}=\left[ \frac{x^{2}}{\sigma ^{4}}-\frac{1}{\sigma ^{2}}%
\right] \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp ^{\frac{-x^{2}}{2\sigma ^{2}%
}}\right]
\]

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
{\normalsize \subfigure[Primer derivada 1d\label{fig:dergauss}]{%
\psfig{figure=figuras/dergauss.eps,width=5cm}} \hfill \subfigure[Segunda derivada 1d%
\label{fig:der2gauss}]{\psfig{figure=figuras/der2gauss.eps,width=5cm}} \hfill }
\end{center}
\caption{Kerneles de derivadas de gaussianas con $\sigma =10$}
\end{figure}

En dos dimensiones, la implementación de estos kerneles lo haremos de manera separable de la siguiente manera. Así la derivada en la dirección x será

\begin{eqnarray*}
g(x,y)=g(x)*g(y) \\
\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial g(x)}{\partial x}*g(y) \\
\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=g(x)*\frac{\partial g(y)}{\partial y}
\end{eqnarray*}

Las segundas derivadas se calcularán como:

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial ^{2}g(x,y)}{\partial x^{2}}=\frac{\partial ^{2}g(x)}{\partial
x^{2}}*g(y) \\
\frac{\partial ^{2}g(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial g(x)}{%
\partial x}*\frac{\partial g(y)}{\partial y} \\
\frac{\partial ^{2}g(x,y)}{\partial y^{2}}=g(x)*\frac{\partial ^{2}g(y)}{%
\partial y^{2}}
\end{eqnarray*}

En la figuras \ref{fig:der2gauss_xx}, \ref{fig:der2gauss_xy} y \ref
{fig:der2gauss_yy}, se presentan los kerneles de derivadas de Gaussianas en
dos dimensiones.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
{\normalsize \subfigure[Kernel $\frac{\partial^2 g(x,y)}{\partial x^2}$ en 2d%
\label{fig:der2gauss_xx}]{\psfig{figure=figuras/der2gauss_xx.eps,width=3.5cm}}
\hfill 
\subfigure[Kernel $\frac{\partial^2 g(x,y)}{\partial x \partial y}$ en 2d\label{fig:der2gauss_xy}]{\psfig{figure=figuras/der2gauss_xy.eps,width=3.5cm}}
\hfill \subfigure[Kernel $\frac{\partial^2 g(x,y)}{\partial y^2}$ en 2d\label%
{fig:der2gauss_yy}]{\psfig{figure=figuras/der2gauss_yy.eps,width=3.5cm}} }
\end{center}
\caption{Kerneles de derivadas de gaussianas con $\sigma =10$ en dos
dimensiones}
\end{figure}

\subsubsection{Laplaciano}

El Laplaciano resulta de sumar las segundas derivadas en $x$ y $y$ de una señal bidimensional y esta dado por la siguiente expresión
\[
\Delta =\frac{\partial ^{2}g(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}g(x,y)%
}{\partial y^{2}}
\]
Este kernel lo podemos construir sumando los kerneles de segundas derivadas de la siguiente forma
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right) +\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & -4 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right)
\]
De manera robusta lo podemos calcular utilizando derivadas de Gaussiana, lo cual da lugar al kernel denominado ''Mexican Hat''. Este kernel se utiliza para determinar bordes en una imagen y podemos ver este kernel en la figura
\ref{fig:Laplaciano}

\begin{figure}[h!]
{\normalsize \centering
\centerline{\psfig{figure=figuras/laplaciano.eps,width=6.0cm}} }
\caption{Laplaciano. Mexican Hat}
\label{fig:Laplaciano}
\end{figure}

\section{Respuesta de Sistemas lineales invariantes en el tiempo a
exponenciales complejas.}

La importancia de las exponenciales complejas en el estudios de sistemas LTI proviene del hecho, de que la respuesta de un sistema LTI a una entrada exponencial compleja es la misma exponencial compleja modificada solo en amplitud.
\[
T\left[ z^{n}\right] =H(z)z^{n}
\]
donde el factor complejo de la amplitud $H(z)$ seró en general una función de la variable compleja s. Esto lo podemos mostrar haciendo
\begin{eqnarray*}
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }h\left( k\right) x\left( n-k\right) \\
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }h\left( k\right) z^{\left( n-k\right) } \\
y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }h\left( k\right) z^{n}z^{-k} \\
y(n)=z^{n}\sum_{k=-\infty }^{\infty }h\left( k\right) z^{-k} \\
y(n)=H(z)z^{n}
\end{eqnarray*}
donde
\[
H(z)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }h\left( k\right) z^{-k}
\]
hemos demostrado que cualquier exponencial compleja es una función característica de un sistema LIT.

Si la entrada de un sistema LIT de tiempo discreto se presenta como una combinación de exponenciales complejas, esto es, si
\[
x\left( n\right) =\sum_{k}a_{k}z_{k}^{n}
\]
entonces la salida es
\[
y\left( n\right) =\sum_{k}a_{k}H\left( z_{k}\right) z_{k}^{n}
\]


