Método
de Régula Falsi.
Una de las razones de la introducción de este
método es que la velocidad de convergencia del método de bisecciones es bastante
baja. En el método de bisección se usa el punto medo del intervalo [a,b] para llevar a cabo el siguiente
paso. Suele conseguirse una mejor aproximación usando el punto (c,0) en el que la recta secante L, que pasa por los puntos [a, f(a)] y [b, f(b)].
En la figura se puede ver como funciona el
método. En esta figura en azul esta la función de la cual queremos calcular el
cruce por cero y en negro dos líneas rectas que aproximan la solución.
Para calcula la ecuación de la línea secante
hacemos
p1 = [a,
f(a)]
p2 =
[b,f(b)]
y
sustituimos en la ecuación de la línea recta.
y – f(a) = (f(b)–
f(a))*(x – a)/(b – a)
El cruce
por cero de esta ecuación esta en
c = a –
f(a)*(b-a)/(f(b) – f(a))
Entonces el
método de bisecciones puede ser modificado, en lugar de calcular c = (a+b)/2
hacemos c = a – f(a)*(b-a)/(f(b) – f(a))
y aplicamos las mismas tres reglas de la bisección.
Ejemplo
Calcular los ceros de la función x-cos(x)
utilizando el algoritmo de regula falsi en el intervalo [0,1].
|
iter. |
a |
c |
b |
f(a) |
f(c
) |
f(b) |
|
0 |
0.0000 |
0.6851 |
1.0000 |
-1.0000 |
-0.0893 |
-1.0000 |
|
1 |
0.6851 |
0.7363 |
1.0000 |
-0.0893 |
-0.0047 |
-0.0893 |
|
2 |
0.7363 |
0.7389 |
1.0000 |
-0.0047 |
-0.0002 |
-0.0047 |
|
3 |
0.7389 |
0.7391 |
1.0000 |
-0.0002 |
0.0000 |
-0.0002 |
|
4 |
0.7391 |
0.7391 |
1.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
|
5 |
0.7391 |
0.7391 |
1.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
|
6 |
0.7391 |
0.7391 |
1.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |