Calculo de matriz inversa

Calculo de matriz inversa.

 

Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones Ax = b y que la matriz inversa de A es C. Podemos ver que si el vector de términos independiente es

 

a11

a12

a13

 

x1

 

1

a21

a22

a23

 

x2

=

0

a31

a32

a33

 

x3

 

0

 

Cuando calculamos la matriz inversa tenemos [C]-1b = x

 

c11

c12

c13

 

1

 

x1

c21

c22

c23

 

0

=

x2

c31

c32

c33

 

0

 

x3

 

Tenemos que la solución es

 

x1 = c11

x2 = c21

x3 = c31

 

Note que la solución x del sistema es la primer columna de la matriz inversa, así para ver la segunda columna solucionaremos el sistema utilizando un vector b = [0 1 0]T y para la tercer columna hacemos b = [0 0 1]T.

 

Ejemplo:

 

Determinar la matriz inversa de la siguiente matriz.

 

3

-1

-1

-1

1

0

-1

0

1

 

Paso 1: resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones.

 

3

-1

-1

 

x1

 

1

-1

1

0

 

x2

=

0

-1

0

1

 

x3

 

0

 

cuya solución es

 

x1

 

1

x2

=

1

x3

 

1

 

Paso 2: ahora resolvemos

 

3

-1

-1

 

x1

 

0

-1

1

0

 

x2

=

1

-1

0

1

 

x3

 

0

 

x1

 

1

x2

=

2

x3

 

1

 

Paso 3: Finalmente resolvemos

 

3

-1

-1

 

x1

 

0

-1

1

0

 

x2

=

0

-1

0

1

 

x3

 

1

 

x1

 

1

x2

=

1

x3

 

2

 

La matriz inversa calculada es:

 

1

1

1

1

2

1

1

1

2

 

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