Calculo de matriz inversa.

Inversa de Shiplay.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones

a11	a12	a13	x1		b1
a21	a22	a23	x2	=	b2
a31	a32	a33	x3		b3

de la ecuación I despejamos el valor de la variable x1

b₁ - a₁₂x₂ - a₁₃x₃

x₁ = ------------------

a₁₁

Reorganizando la ecuación tenemos

(b₁/a₁₁) - (a₁₂/a₁₁)x₂ - (a₁₃/a₁₁)x₃ = x₁

Sustituimos el valor de x₁ en la ecuación II:

b₁ - a₁₂x₂ - a₁₃x₃

a₂₁ ------------------ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂

a₁₁

(a₂₁/a₁₁)b₁ + (a₂₂ - a₂₁ a₁₂/a₁₁)x₂ + (a₂₃ - a₂₁ a₁₃/a₁₁)x₃ = b₂

y finalmente en III tenemos :

(a₃₁/a₁₁)b₁ + (a₃₂ – a₃₁ a₁₂/a₁₁)x₂ + (a₃₃ – a₃₁ a₁₃/a₁₁)x₃ = b₃

En forma matricial estas ecuaciones lucen como:

1/a11	-a12/a11	-a13/a11	b1		x1
a21/a11	a22-a21 a12/a11	a23-a21 a13/a11	x2	=	b2
a31/a11	a32–a31 a12/a11	a33-a31 a13/a11	x3		b3

Lo que nos da un sistema equivalente como el siguiente.

a’11	a’12	a’13	b1		x1
a’21	a’22	a’23	x2	=	b2
a’31	a’32	a’33	x3		b3

y los valores lo calculamos haciendo

Dado un valor de k al que llamamos pivote:

a_ij = a_ij –a_ik a_kj/a_kk para todos los valores de i y j diferentes de k

a_ik = a_ik/a_kk para todos los i diferentes de k

a_kj = a_kj/a_kk para todos los j diferentes de k

a_kk = 1/a_kk

Si repetimos el procedimiento suponiendo un valor de k = 2 tendremos un sistema.

a’11-a’12a’21/a’22	a’12/a’22	a’13-a’12a'23/a’22	b1		x1
-a’21/a’22	1/a’22	-a’23/a’22	b2	=	x2
a’31-a’32a'21/a’22	a’32/a’22	a’33-a’32a'23/a’22	x3		b3

Lo que nos da un sistema equivalente como el siguiente.

a’’11	a’’12	a’’13	b1		x1
a’’21	a’’22	a’’23	b2	=	x2
a’’31	a’’32	a’’33	x3		b3

Finalmente si volvemos a repetir el método tendremos

a’’’11	a’’’12	a’’’13	b1		x1
a’’’21	a’’’22	a’’’23	b2	=	x2
a’’’31	a’’’32	a’’’33	b3		x3

Ejemplo:

Determinar la matriz inversa de

3	-1	-1
-1	1	0
-1	0	1

Primer paso:

1/3	1/3	1/3
-1/3	2/3	-1/3
-1/3	-1/3	2/3

Segundo paso:

1/2	1/2	1/2
1/2	3/2	1/2
-1/2	-1/2	1/2

Tercer paso:

1	1	1
1	2	1
1	1	2

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