Métodos iterativos
para resolver x=g(x)
Necesitamos una regla, fórmula o función g(x) con la cual calcularemos temimos
sucesivos, para un valor de partida P0.
Lo que se produce es una sucesión de valores
{Pk} obtenida mediante
el proceso iterativo Pk+1= g(Pk).
La sucesión se ajusta al siguiente patrón:
P1= g(P0)
P2= g(P1)
P3= g(P2)
Pk+1= g(Pk)
Lo que podemos observar de ésta sucesión es que si Pk+1->Pk la sucesión converge a un valor, pero en el caso de que Pk+1 no tienda a Pk tenemos una sucesión divergente.
Ejemplo.
x = Ax con P0=1
P1= A
P2= A*A=A2
P3= A* A2=
A3
...
Pk= Ak
Métodos de punto fijo.
Un punto fijo de una función g(x) es un número real P tal que P=g(P). Geométricamente hablando, los puntos
fijos de una función g(x) son los
puntos de intersección de la curva y=g(x)
con la recta y=x.
Ejemplo.
Consideremos la función x=e-x y damos un valor inicial P0 = 0.5
P1= e-0.5
= 0.606531
P2=
0.545339
P3=
0.579703
...
Pk=0.567143
Solución de Sistemas
no lineales.
Consideremos el caso
de la funciones :
f1(x,y)
= x2 – 2x – y +0.5
f2(x,y)
= x2 + 4y2 – 4
y queremos encontrar un método para resolver
f1(x,y)
=0 y f2(x,y) = 0
Podemos resolver el sistema, utilizando el método de iteración de punto fijo. Para ello despejamos de la ecuación 1 a x:
x = (x2
– y +0.5)/2
A la segunda ecuación agregamos un término
x2 + 4y2
–8y – 4=- 8y
y= (-x2
-4y2 +8y + 4)/8
De esto tenemos un sistema en sucesión dado por:
xk+1 = (xk2 –
yk +0.5)/2
yk+1= (-xk2
-4yk2 +8yk + 4)/8
La solución de esta sucesión para un valor
inicial [0,1] es:
|
k |
x |
y |
|
0 |
0.0000 |
1.0000 |
|
1 |
-0.2500 |
1.0000 |
|
2 |
-0.2188 |
0.9922 |
|
3 |
-0.2222 |
0.9940 |
|
4 |
-0.2223 |
0.9938 |
|
5 |
-0.2222 |
0.9938 |
|
6 |
-0.2222 |
0.9938 |