Examen.
Se tiene un concentrado de calificaciones obtenidas por los estudiantes del curso de programación impartida a los alumnos de la facultad de Ingeniería Eléctrica. En este concentrado se tiene
No => número de identificación por alumno.
Final => Calificación final otorgada.
% Asis => porcentaje de asistencia.
E1, E2, E3 y E4 => Calificaciones correspondientes a los exámenes parciales.
T1, T2, T2 y T4 => Promedio de tareas entregadas.
|
No |
Final |
% Asis |
E1 |
E2 |
E3 |
E4 |
T1 |
T2 |
T3 |
T4 |
|
1 |
0.57 |
56.45 |
2.00 |
0.29 |
0.00 |
0.00 |
4.00 |
1.43 |
0.00 |
0.00 |
|
2 |
6.04 |
88.71 |
4.35 |
5.44 |
8.40 |
1.98 |
5.75 |
7.21 |
10.00 |
5.88 |
|
3 |
4.33 |
80.65 |
4.10 |
4.97 |
5.20 |
3.05 |
4.50 |
4.86 |
6.00 |
3.25 |
|
4 |
6.06 |
91.94 |
4.70 |
3.11 |
8.00 |
4.43 |
7.50 |
7.57 |
10.00 |
6.13 |
|
5 |
0.96 |
48.39 |
3.83 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
5.13 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
6 |
8.10 |
87.10 |
7.43 |
8.86 |
6.60 |
5.53 |
7.13 |
8.29 |
5.00 |
3.63 |
|
7 |
0.11 |
25.81 |
0.45 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
2.25 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
8 |
6.70 |
61.29 |
4.00 |
7.69 |
7.92 |
3.20 |
6.00 |
6.43 |
7.60 |
4.00 |
|
9 |
8.61 |
95.16 |
7.99 |
9.97 |
10.00 |
2.50 |
7.94 |
9.86 |
10.00 |
4.50 |
|
10 |
0.84 |
48.39 |
3.38 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
2.88 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
11 |
0.78 |
56.45 |
2.73 |
0.00 |
0.40 |
0.00 |
5.63 |
0.00 |
2.00 |
0.00 |
|
12 |
1.25 |
32.26 |
2.87 |
2.11 |
0.00 |
0.00 |
6.34 |
2.57 |
0.00 |
0.00 |
|
13 |
0.87 |
22.58 |
3.47 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
1.34 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
14 |
3.52 |
80.65 |
4.73 |
4.97 |
2.80 |
1.58 |
1.63 |
4.86 |
2.00 |
3.88 |
|
15 |
6.04 |
87.10 |
5.15 |
5.49 |
5.92 |
3.60 |
5.75 |
3.43 |
9.60 |
6.00 |
|
16 |
3.55 |
87.10 |
4.58 |
4.46 |
3.60 |
1.55 |
6.88 |
6.29 |
6.00 |
3.75 |
|
17 |
8.95 |
79.03 |
5.00 |
6.79 |
10.00 |
10.00 |
5.50 |
5.93 |
10.00 |
10.00 |
|
18 |
8.71 |
96.77 |
5.18 |
9.94 |
10.00 |
5.73 |
7.88 |
9.71 |
10.00 |
8.63 |
|
19 |
6.03 |
93.55 |
4.08 |
5.00 |
6.76 |
4.30 |
8.38 |
9.00 |
9.80 |
9.50 |
|
20 |
3.99 |
83.87 |
3.33 |
4.77 |
4.00 |
3.88 |
6.66 |
3.86 |
8.00 |
3.38 |
|
21 |
7.05 |
79.03 |
7.80 |
4.96 |
6.80 |
4.63 |
7.00 |
4.79 |
2.00 |
7.13 |
|
22 |
7.56 |
87.10 |
6.93 |
6.60 |
10.00 |
2.70 |
8.63 |
9.00 |
10.00 |
9.50 |
|
23 |
0.61 |
33.87 |
2.43 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
6.13 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
24 |
7.31 |
88.71 |
5.48 |
7.31 |
10.00 |
2.45 |
9.38 |
8.57 |
10.00 |
8.25 |
|
25 |
7.87 |
87.10 |
6.58 |
5.83 |
9.76 |
5.33 |
6.88 |
9.14 |
8.80 |
6.63 |
|
26 |
1.89 |
30.65 |
3.40 |
4.17 |
0.00 |
0.00 |
1.00 |
4.86 |
0.00 |
0.00 |
|
27 |
0.83 |
40.32 |
3.15 |
0.00 |
0.00 |
0.15 |
3.75 |
0.00 |
0.00 |
0.75 |
|
28 |
3.10 |
79.03 |
2.53 |
4.69 |
3.52 |
1.65 |
2.63 |
3.43 |
5.60 |
4.25 |
|
29 |
0.86 |
40.32 |
3.44 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
3.22 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
30 |
3.00 |
72.58 |
3.85 |
2.49 |
5.68 |
0.00 |
5.25 |
4.43 |
4.40 |
0.00 |
|
31 |
2.55 |
62.90 |
2.49 |
3.09 |
3.36 |
1.25 |
2.44 |
7.43 |
4.80 |
2.25 |
|
32 |
2.48 |
82.26 |
2.47 |
5.17 |
0.40 |
1.88 |
2.34 |
5.86 |
2.00 |
5.38 |
|
33 |
9.70 |
90.32 |
7.33 |
9.00 |
9.60 |
8.88 |
6.63 |
9.00 |
8.00 |
4.38 |
|
34 |
7.07 |
75.81 |
8.00 |
5.67 |
5.44 |
5.15 |
6.00 |
8.36 |
3.20 |
5.75 |
|
35 |
1.21 |
67.74 |
4.33 |
0.29 |
0.00 |
0.23 |
7.63 |
1.43 |
0.00 |
1.13 |
|
36 |
0.48 |
32.26 |
1.28 |
0.00 |
0.40 |
0.25 |
6.38 |
0.00 |
2.00 |
1.25 |
|
37 |
1.27 |
59.68 |
4.78 |
0.29 |
0.00 |
0.00 |
3.88 |
1.43 |
0.00 |
0.00 |
Se desea calcular:
1.
Muestre que la información en
cada una de las columnas tiene una distribución normal. Cual es su media y cual
es su varianza.
Las
medias para cada columna son
4.0770 67.9170 4.3141
3.8762 4.1773 2.3211
5.3578 4.5684 4.5081
3.4914
y las varianzas.
3.0841 22.8883 1.8829
3.1962 3.9422 2.5889
2.2254 3.4857 4.0840
3.2627
|
final |
no es normal |
0.001 |
|
Asistencia |
no es normal |
0.001 |
|
E1 |
es normal |
0.089 |
|
E2 |
no es normal |
0.003 |
|
E3 |
no es normal |
0.000 |
|
E4 |
no es normal |
0.000 |
|
T1 |
es normal |
0.124 |
|
T2 |
no es normal |
0.005 |
|
T3 |
no es normal |
0.000 |
|
T4 |
no es normal |
0.001 |
2.
Se sabe que
existe dependencia lineal entre la calificación final otorga y cada una de las
variables. Muestre este hecho.
Results for:
examen.MTW
Regression Analysis:
Final versus Asist, E1, E2, E3, E4, T1, T2, T3, T4
The regression
equation is
Final = - 0.060 - 0.00829 Asist
+ 0.338 E1 + 0.246 E2 + 0.298 E3 + 0.269 E4
+ 0.0263 T1 + 0.0037 T2 +
0.0179 T3 + 0.0512 T4
Predictor Coef SE Coef T P
Constant -0.0600 0.1521 -0.39 0.696
Asist -0.008290
0.003227 -2.57 0.016
E1 0.33818
0.03719 9.09 0.000
E2 0.24628
0.02751 8.95 0.000
E3 0.29839
0.03622 8.24
0.000
E4 0.26855
0.02389 11.24 0.000
T1 0.02632 0.02162 1.22 0.234
T2 0.00375 0.02554 0.15 0.884
T3 0.01792 0.03040 0.59 0.560
T4 0.05119 0.02233 2.29 0.030
S = 0.2015 R-Sq = 99.7% R-Sq(adj) = 99.6%
Analysis of Variance
Source DF SS
MS F P
Regression 9
341.411 37.935 933.89
0.000
Residual Error 27
1.097 0.041
Total 36 342.508
Source DF
Seq SS
Asist 1 219.739
E1 1 50.994
E2 1 41.836
E3 1 21.722
E4 1 6.768
T1 1 0.100
T2 1 0.011
T3 1 0.027
T4 1 0.213
Unusual Observations
Obs Asist Final Fit SE Fit Residual St Resid
15 87.1 6.0389 5.6872 0.1293 0.3517 2.28R
Hipótesis :
H0 : b1 = b2 = ... bk;
H1 : al menos dos son diferentes.
Con el análisis de varianza podemos ver que efectivamente existe
dependencia lineal entre las variables y la calificación final, ya que 933.89 > 3.1494, condición de rechazo de la hipótesis nula de que
los coeficientes de regresión son cero.
Sin embargo cuando vemos la prueba T tenemos que
H0 : bk = 0
H1 : es diferente
el T calculado tinv(0.95, 27) es igual a
1.7033 lo cual implica, que existe evidencia que las tareas no fueron
tomadas en cuenta por el profesor y la asistencia y los exámenes si fueron
tomados en cuenta.
Predictor T
Tc
Asist |-2.57| < 1.7033 Rechazar
E1 | 9.09| < 1.7033 Rechazar
E2 | 8.95| < 1.7033 Rechazar
E3 | 8.24| < 1.7033 Rechazar
E4 |11.24| < 1.7033 Rechazar
T1 | 1.22|
< 1.7033 Aceptar
T2 | 0.15| < 1.7033 Aceptar
T3 | 0.59|
< 1.7033 Aceptar
T4 | 2.29|
< 1.7033 Aceptar
3.
¿Que
variables fueron tomadas en cuenta para dar la calificación final?, ¿Tomo el
profesor en cuenta la asistencia?. ¿Cuáles fueron las
variables a las que dio mas peso?
Las variables que fueron tomadas para otorgar la
calificación final, de acuerdo a la prueba la regresión por pasos son E1, E2, E3, E4. Pero uno de los mejores conjunto incluye a la Asist y T4.
De acuerdo con esto la asistencia parece ser que
si fue tomada en cuenta por el profesor.
Las variables a las que dio mas peso son
definitivamente los examenes. Y no hay prueba estadística de
que las tareas contaron en la calificación final.
Stepwise Regression:
Final versus Asist, E1, E2, E3, E4, T1, T2, T3, T4
Forward selection. Alpha-to-Enter: 0.01
Response is
Final on 9 predictors, with N = 37
Step 1 2 3 4
Constant 0.9475
0.8821 -0.1725 -0.2320
E3 0.749 0.548 0.453 0.338
T-Value 19.59 12.30 13.79 16.50
P-Value 0.000 0.000 0.000 0.000
E4 0.391 0.334
0.282
T-Value 5.77 7.28
11.75
P-Value 0.000
0.000 0.000
E1 0.367 0.314
T-Value 6.63 10.92
P-Value 0.000 0.000
E2 0.230
T-Value 9.76
P-Value 0.000
S 0.904 0.652 0.434 0.221
R-Sq 91.64 95.77 98.19 99.54
R-Sq(adj) 91.40
95.53 98.02 99.49
C-p 671.7 325.3 123.7 11.4
Best Subsets
Regression: Final versus Asist, E1, ...
Response is Final
A
s
i
s E E E E T T T T
Vars R-Sq
R-Sq(adj) C-p S
t 1 2 3 4 1 2 3 4
1
91.6 91.4 671.7
0.90435 X
1
84.6 84.1 1268.4
1.2290 X
2
95.8 95.5 325.3
0.65242 X X
2
95.3 95.0 364.7
0.68753 X X
3
98.2 98.0 123.7
0.43352 X X X
3
97.8 97.7 152.5
0.47262 X X X
4
99.5 99.5 11.4 0.22074 X X X X
4
98.7 98.5 86.4
0.37934 X X X
X
5
99.6 99.5 10.3
0.21504 X X X X X
5
99.6 99.5 10.7
0.21619 X X X X X
6
99.7 99.6 6.2 0.19882
X X X X X X
6
99.6 99.5 10.2
0.21203 X X X X X X
7
99.7 99.6 6.4
0.19578 X X X X X X X
7
99.7 99.6 7.5
0.19976 X X X X X X X
8 99.7 99.6 8.0 0.19799 X X X X X X X X
8
99.7 99.6 8.3
0.19918 X X X X X X X X
9
99.7 99.6 10.0
0.20154 X X X X X X X X X
4.
¿Todas las calificaciones
tienen medias similares?
En este caso se realiza el análisis de medias, o los que es
lo mismo el análisis de varianza para medias. La hipótesis a probar es:
H0
: m1 = m2 = m3 = ... = m8
H1 : al menos dos de las medias no son iguales
One-way ANOVA: calif versus examen
Analysis of Variance
for calif
Source DF
SS MS F P
examen 7
207.2 29.6 2.94
0.005
Error 288 2895.0 10.1
Total 295 3102.2
Individual 95% CIs For Mean
Based on
Pooled StDev
Level N
Mean StDev --+---------+---------+---------+----
1 37 4.312 1.882 (------*------)
2 37 3.876 3.197 (------*------)
3 37 4.177 3.942 (------*------)
4 37 2.320 2.588
(-----*------)
5 37 5.356 2.224 (------*------)
6 37 4.568 3.486 (-----*------)
7 37 4.508 4.084 (------*------)
8 37 3.490 3.262 (------*------)
--+---------+---------+---------+----
Pooled StDev = 3.171 1.5 3.0 4.5 6.0
Cuando calculamos el estadístico F tenemos que:
finv(0.99, 8, 31) = 3.1489
por lo tanto 2.94 > 3.1489 no es cierto y aceptamos la hipótesis nula, lo cual significa que las medias no son iguales, en un nivel de significancia del 1%.
No todas las medias son iguales, podemos ver que la media
del cuarto examen es la mas baja. Son varias la causas de este efecto, que el
tema fue dado en poco tiempo y/o que los alumnos con bajo desempeño ya no
presentaron este examen (aceptaron que estaban reprobados).
5.
¿Todas las calificaciones
tienen varianzas similares?
Test for Equal Variances
Response calif
Factors examen
ConfLvl 95.0000
Bonferroni confidence
intervals for standard deviations
Lower
Sigma Upper N
Factor Levels
1.41728
1.88249 2.73406 37
1
2.40661
3.19656 4.64256 37
2
2.96795
3.94215 5.72544 37
3
1.94840
2.58794 3.75863 37
4
1.67465
2.22433 3.23054 37
5
2.62437
3.48580 5.06264 37
6
3.07475
4.08401 5.93146 37
7
2.45582
3.26191 4.73748 37
8
Test Statistic: 33.944
P-Value :
0.000
Levene's Test (any
continuous distribution)
Test Statistic: 8.569
P-Value : 0.000
Test for Equal
Variances: calif vs examen
6.
¿Todos las tareas y/o exámenes
tuvieron el mismo grado de dificultad?. Muestre que exámenes y/o tareas
tuvieron el mismo grado de dificultad.
La hipótesis a probar es:
H0 : a1 = a2 = .. .=
a8 = 0
H1 : al
menos una es diferente de cero.
En estos puntos se realizo un análisis de varianza de dos factores para eliminar la variación debida a los alumnos respecto de los exámenes. Así concluimos que:
finv(0.95, 7, 36*7) = 2.0460 y 9.442 > 2.0460 por los que se rechaza la hipótesis nula y todos los exámenes tienen medias diferentes.
7.
¿Todos los alumnos tuvieron
desempeños similares?. ¿Que alumnos tuvieron desempeños similares?.
Los alumnos no tuvieron desempeños similares en
un grado de significancia de 5% ya que:
finv(0.95, 7, 36*7) = 2.0460 y 18.65 > 2.0460
Resultado del análisis de varianza de dos factores, utilizando MINITAB son:
Two-way ANOVA: calif
versus examen, alumno
Analysis of Variance
for calif
Source DF SS MS F P
examen 7
207.20 29.60 9.44
0.000
alumno 36
2105.07 58.47 18.65
0.000
Error 252 789.96 3.13
Total 295
3102.23
Individual 95% CI
examen Mean ---+---------+---------+---------+--------
1 4.31 (-----*-----)
2 3.88 (-----*----)
3 4.18 (-----*-----)
4 2.32 (-----*-----)
5 5.36 (-----*----)
6 4.57 (-----*----)
7 4.51 (-----*-----)
8 3.49 (-----*-----)
---+---------+---------+---------+--------
2.00 3.00 4.00 5.00
Individual 95% CI
alumno Mean ---+---------+---------+---------+--------
1 0.96
(---*---)
2 6.13 (---*----)
3 4.49
(---*---)
4 6.43 (---*----)
5 1.12
(---*---)
6 6.56 (---*---)
7 0.34
(---*---)
8 5.85 (----*---)
9
7.84 (---*---)
10 0.78 (----*---)
11 1.34 (---*----)
12 1.74 (---*---)
13 0.60 (---*---)
14 3.30 (---*---)
15 5.62 (---*---)
16 4.64 (---*----)
17 7.90 (---*---)
18 8.38 (---*---)
19 7.10 (---*---)
20 4.73
(---*---)
21 5.64 (---*---)
22 7.92 (---*----)
23 1.07 (----*---)
24 7.68 (----*---)
25 7.37 (----*---)
26 1.68 (----*---)
27 0.97 (---*---)
28 3.54 (---*---)
29 0.83 (---*---)
30 3.26 (---*---)
31 3.39
(---*---)
32 3.19 (---*---)
33 7.85 (---*---)
34 5.95 (---*---)
35 1.88 (---*---)
36 1.44 (---*---)
37 1.30 (---*---)
---+---------+---------+---------+--------
0.00 3.00 6.00 9.00
Correlations: Final, Asist, E1, E2, E3, E4, T1, T2, T3,
T4
Final Asist E1 E2 E3 E4 T1 T2
Asist 0.801
0.000
E1
0.813 0.647
0.000 0.000
E2
0.920 0.775 0.691
0.000 0.000 0.000
E3 0.957 0.798
0.708 0.858
0.000 0.000 0.000
0.000
E4
0.877 0.670 0.638
0.755 0.785
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000
T1
0.606 0.565 0.539
0.460 0.640 0.451
0.000
0.000 0.001 0.004
0.000 0.005
T2
0.881 0.807 0.681
0.895 0.865 0.693
0.514
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
0.001
T3
0.840 0.812 0.490
0.783 0.916 0.695
0.613 0.801
0.000 0.000 0.002
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000
T4
0.845 0.789 0.576
0.758 0.841 0.767
0.562 0.787
0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
T3
T4 0.827
0.000