Eliminación
Gaussiana.
Consideremos que tenemos
un sistema lineal Ax=b, donde la matriz A no tiene
las condiciones de ser triangular superior.
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a11 |
a12 |
a13 |
|
x1 |
|
b1 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
x2 |
= |
b2 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
x3 |
|
b3 |
Comenzaremos
por despejar de la x1 de la
ecuación (I)
b1 - a12x2 - a13x3
x1 = ------------------
a11
y sustituimos en las
ecuaciones II
b1 - a12x2 - a13x3
a21 ------------------ + a22x2
+ a23x3 = b2
a11
agrupando términos
semejantes tenemos:
(a22 – a21 a12/a11)x2 + (a23 – a21 a13/a11)
x3 = (b2 - a21 b1/a11)
Ahora
sustituimos en la ecuación III
b1 - a12x2 - a13x3
a31 ------------------ + a32x2
+ a33x3 = b3
a11
(a32 – a31 a12/a11)x2
+ (a33 – a31 a13/a11) x3
= (b3 – a31 b1/a11)
Lo cual
nos da un nuevo sistema simplificado dada por
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (I)
a’22x2
+ a’23x3 = b’2 (II’)
a’32x2
+ a’33x3 = b’3 (III’)
donde los
valores de a’ij
los calculamos como:
a’ij = aij
– aik akj/
akk
b’i = bi
– aik bk/
akk
Si repetimos el
procedimiento tendremos un sistema dado como:
a11x1
+ a12x2 + a13x3 = b1 (I)
a’22x2
+ a’23x3 = b’2
(II’)
a’’33x3
= b’3 (III’’)
que
corresponde a un sistema triangular superior que podemos solucionar utilizando sustitución hacia atrás.
Ejemplo.
Calcular el sistema triangular
superior utilizando eliminación gaussiana.
5x1 + 2x2
+ 1x3 = 3
2x1 + 3x2
- 3x3 = -10
1x1 - 3x2
+ 2x3 = 4
Primer
paso
5x + 2y +
1z = 3
0 + (11/5)y – (17/5)z
= -(56/5)
0 - (17/5)y + (9/5)z = (17/5)
Segundo
paso
5x + 2y +
1z = 3
0x + (11/5)y – (
17/5)z = -(56/5)
0x -
0y – (38/11)z = -(153/11)
Ejemplo.
Resolver el sistema de ecuaciones
|
3 |
-1 |
-1 |
|
x |
|
0 |
|
-1 |
1 |
0 |
|
y |
= |
1 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
z |
|
1 |
Aplicando eliminación gaussiana nos queda.
|
3 |
-1 |
-1 |
|
x |
|
0 |
|
0 |
2/3 |
-1/3 |
|
y |
= |
1 |
|
0 |
0 |
1/2 |
|
z |
|
3/2 |
Ejemplo.
Un ejemplo de sistema donde es
necesario hacer un cambio de renglón por renglón para que tenga solución es el siguiente
sistema.
|
1 |
2 |
6 |
|
4 |
8 |
-1 |
|
-2 |
3 |
5 |
Aplicando el primer paso de la
eliminación gaussiana tenemos:
|
1 |
2 |
6 |
|
0 |
0 |
-25 |
|
0 |
7 |
17 |
note,
que aparece un cero en el elemento 22, lo cual nos da un sistema sin solución.
Permutando los renglones 2 y 3 el sistema tiene solución.
|
1 |
2 |
6 |
|
-2 |
3 |
5 |
|
4 |
8 |
-1 |