Método de Bairstow.

 

El método de  Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio fn(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático f2(x) = x2 – rx – s y fn-2(x). El procedimiento general para el método de Bairstow es:

 

  1. Dado fn(x) y r0 y s0
  2. Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero.
  3. Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general.
  4. Se calcula  fn-2(x)= fn(x)/ f2(x).
  5. Hacemos fn(x)= fn-2(x)
  6. Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
  7. Si no terminamos

 

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).

 

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado

 

fn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0

 

Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio

 

fn-2(x) = bnxn-2 + bn-1xn-3 + … + b3x + b2

 

con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.

 

Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia

 

bn = an

bn-1 = an-1 + rbn

bi = ai + rbi+1 + sbi+2

 

 

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor

 

 

donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que  tenemos que resolver es:

 

 

 

 

Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así

 

cn = bn

cn-1 = bn-1 + rcn

ci = bi + rci+1 + sci+2

 

donde

 

 

Sustituyendo término

 

Ejemplo 1

 

Dado el polinomio f5(x) =  x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los  valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.

 

Solución.

 

Iteración 1.

 

La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado

 

f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125     Residuo = {30.75, -61.75}

 

Aplicando el método de Newton tenemos

 

 

-43.875

16.75

 

dr

 

-30.75

108.125

-43.875

 

ds

 

61.75

 

de donde

 

r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213

s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796

 

Iteración 2.

 

 La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado

 

f3(x) = x3 -  1.7363187491427787x2 + 7.091061199392814x - 1.776754563401905

 

 Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}

 

Aplicando el método de Newton tenemos

 

27.628006

14.542693

 

dr

 

-51.75640

208.148405

27.62800

 

ds

 

-105.68578

 

de donde

 

r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 = 1.7164010597228012

s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644

 

Iteración 3.

 

 La división sintética con el polinomio f2(x)=  x2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado

 

f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992

 

Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}

 

Aplicando el método de Newton tenemos

 

13.83497

7.44182

 

dr

 

-12.65471

65.679212

13.83497

 

ds

 

-28.18814

 

de donde

 

r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486

s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524

 

En resumen

 

k

r

s

Residuo

0

-1

2

30.75

-61.75

1

1.76368

7.403374

51.756406

105.68578

2

1.71640

3.93426

12.65471

28.18814

3

1.599731

2.450680

2.89958

8.15467

4

1.33354

2.18666

0.760122

2.522228

5

1.11826

2.11302

0.271940

0.607688

6

1.02705

2.02317

0.04313

0.11185

7

1.00165

2.00153

0.00277

0.00634

8

1.00000

2.00000

1.13930E-5

2.67534E-5

 

La solución es:

 

f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625  y f2(x) = x2 - x - 2

 

Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son

 

x1 = 2

x2 = -1

 

 

Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 , podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.

 

Ejemplo 2

 

Dado el polinomio f5(x) =  x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar las raíces de este polinomio. Considere r0 = -1 y s0 = -1.

 

Paso 1.

 

f5(x) =  x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25

 

f5(x) =( x3 - 4x2 + 5.25x - 2.5)*( x2 +0.5x - 0.5)

 

Las raíces de  x2 +0.5x - 0.5=0 son

 

x1  = 0.5

x2  =-1.0

 

Paso 2.

 

f3(x) = x3 - 4x2 + 5.25x - 2.5

 

f3(x) =(x - 2)*(x2 - 2x  +1.25)

 

Las raíces de  x2 - 2x  +1.25=0 son

 

x3  = 1.0 + j0.5

x4  =-1.0 - j0.5

 

Paso 3

 

f1(x) =(x - 2)

 

La raíz de este polinomio es

 

x5 = 2;

 

Todas la raíces de f5(x) son  x = [0.5, 1.0, (1.0 + j0.5), (1 - j0.5), 2]

 

Implementación en Java.

 

package ejemplos;

 

/**

 * <p>Title: Meétodo de Baritow </p>

 * <p>Description: Calcula todas las raices de un polinomio de grado n</p>

 * <p>Copyright: Copyright (c) 2003</p>

 * <p>Company: UMSNH</p>

 * @author Dr. Felix Calderon Solorio

 * @version 1.0

 */

 

public class ej065 {

  public static void main(String[] args) {

    //double a[] = {-2.5, 5.25, -4, 1};

    double a[] ={1.25, -3.875, 2.125, 2.75, -3.5, 1};

    int n = a.length;

    double re[] = new double[n];

    double im[] = new double[n];

 

    Bairstow(a, -1, -1, re, im);

    //Bairstow(a, -1, 2, re, im);

  }

 

  static public void Bairstow(double a[], double r0, double s0, double re[], double im[])

  {

    int n = a.length, iter =0;

    double b[] = new double[n], c[] = new double[n];

    double ea1 = 1, ea2 = 1, T = 0.00001;

    double r=r0, s=s0,det, ds, dr;

    int MaxIter = 100, i;

 

   for(iter=0; iter< MaxIter && n>3; iter++)

    {

      do {

        Division_Derivada(a, b, c, r, s, n);

 

/*

        System.out.println("Solucionando ");

        System.out.print("fn(x) = "); imprime(a, n);

        System.out.print("fn-2(x) = "); imprime2(b, n);

        System.out.println("f2(x) = x2 + " + r + "x + " + s);

        System.out.println(c[2] + " " + c[3] + " = " + -b[1]);

        System.out.println(c[1] + " " + c[2] + " = " + -b[0]);

*/

        det = c[2]*c[2] - c[3]*c[1];

        if(det!=0)

        {

          dr = (-b[1]*c[2] + b[0]*c[3])/det;

          ds = (-b[0]*c[2] + b[1]*c[1])/det;

          /*

          System.out.println("*********************************");

          System.out.println(r+dr +" = " + r + " + " + dr);

          System.out.println(s+ds +" = " + s + " + " + ds);

          System.out.println("-----------------------------------");*/

          r = r+dr;

          s = s+ds;

          if(r!=0) ea1 = Math.abs(dr/r)*100.0;

          if(s!=0) ea2 = Math.abs(ds/s)*100.0;

        }

        else

        {

          r = 5*r+1;

          s = s+1;

          iter = 0;

        }

      }

      while ((ea1 > T) && (ea2 > T));

      raices(r, s, re, im, n);

      System.out.println("iter " +iter);

      System.out.print("fn(x) = "); imprime(a, n);

      System.out.print("fn-2(x) = "); imprime2(b, n);

      System.out.println("f2(x) = x2 -(" +r + ")x -(" +s +")");

      n = n-2;

      for(i=0; i<n; i++)

        a[i] = b[i+2];

      if (n < 4) break;

    }

    if(n==3)

    {

      System.out.println("n = " + n);

      r = -a[1]/a[2];

      s = -a[0]/a[2];

      imprime(a, n);

      raices(r, s, re, im, n);

    }

    else

    {

      re[n-1] = -a[0]/a[1];

      im[n-1] = 0;

    }

    for(i=1; i<re.length; i++)

      System.out.println( "X["+i+"]= " + re[i] + " j " + im[i]);

  }

 

  public static void Division_Derivada(double a[], double b[], double c[], double r, double s, int n)

  {

    int i;

 

    b[n-1] = a[n-1];

    b[n-2] = a[n-2] + r*b[n-1];

 

    c[n-1] = b[n-1];

    c[n-2] = b[n-2] + r*c[n-1];

 

    for(i=n-3; i>=0; i--)

    {

      b[i] = a[i] + r*b[i+1] + s*b[i+2];

      c[i] = b[i] + r*c[i+1] + s*c[i+2];

    }

 

  }

 

  public static void imprime(double x[], int n)

  {

    int i;

 

    for (i = n - 1; i >= 0; i--)

      if(x[i] > 0) System.out.print("+ " +x[i] + "x"+i+" ");

      else System.out.print("- " + -x[i] + "x"+i+" ");

    System.out.println("");

  }

 

  public static void imprime2(double x[], int n)

  {

    int i;

 

    for (i = n - 1; i >= 2; i--)

      if(x[i] > 0) System.out.print("+ " +x[i] + "x"+(i-2)+" ");

      else System.out.print("- " + -x[i] + "x"+(i-2)+" ");

    System.out.println("Residuo = {"+ x[1]+ ", " + x[0] + "}");

 

  }

 

  public static void raices(double r, double s, double re[], double im[], int n)

  {

    double d = r*r + 4*s;

    if(d > 0)

    {

      re[n-1] = (r + Math.sqrt(d))/2.0;

      re[n-2] = (r - Math.sqrt(d))/2.0;

      im[n-1] = 0;

      im[n-2] = 0;

    }

    else

    {

      re[n-1] = r/2.0;

      re[n-2] = re[n-1];

      im[n-1] = Math.sqrt(-d)/2.0;

      im[n-2] = -im[n-1];

    }

  }

}

 

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