Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones
Ax = b y que la matriz inversa de A es C. Podemos ver que si el vector de
términos independiente es
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a11 |
a12 |
a13 |
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x1 |
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1 |
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a21 |
a22 |
a23 |
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x2 |
= |
0 |
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a31 |
a32 |
a33 |
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x3 |
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0 |
Cuando calculamos la matriz inversa tenemos [C]-1b
= x
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c11 |
c12 |
c13 |
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1 |
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x1 |
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c21 |
c22 |
c23 |
|
0 |
= |
x2 |
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c31 |
c32 |
c33 |
|
0 |
|
x3 |
Tenemos que la solución es
x1 = c11
x2 = c21
x3 = c31
Note que la solución x del sistema es la primer
columna de la matriz inversa, así para ver la segunda columna solucionaremos el
sistema utilizando un vector b = [0 1 0]T y para la tercer columna
hacemos b = [0 0 1]T.
Ejemplo:
Determinar la matriz inversa de la siguiente
matriz.
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3 |
-1 |
-1 |
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-1 |
1 |
0 |
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-1 |
0 |
1 |
Paso 1: resolvemos el siguiente sistema de
ecuaciones.
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3 |
-1 |
-1 |
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x1 |
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1 |
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-1 |
1 |
0 |
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x2 |
= |
0 |
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-1 |
0 |
1 |
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x3 |
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0 |
cuya solución es
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x1 |
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1 |
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x2 |
= |
1 |
|
x3 |
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1 |
Paso 2: ahora resolvemos
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3 |
-1 |
-1 |
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x1 |
|
0 |
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-1 |
1 |
0 |
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x2 |
= |
1 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
x3 |
|
0 |
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x1 |
|
1 |
|
x2 |
= |
2 |
|
x3 |
|
1 |
Paso 3: Finalmente resolvemos
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3 |
-1 |
-1 |
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x1 |
|
0 |
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-1 |
1 |
0 |
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x2 |
= |
0 |
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-1 |
0 |
1 |
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x3 |
|
1 |
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x1 |
|
1 |
|
x2 |
= |
1 |
|
x3 |
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2 |
La matriz inversa calculada es:
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1 |
1 |
1 |
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1 |
2 |
1 |
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1 |
1 |
2 |