Calculo de matriz inversa

Calculo de matriz inversa.

 

Inversa de Shiplay.

 

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones

 

a11

a12

a13

 

x1

 

b1

a21

a22

a23

 

x2

=

b2

a31

a32

a33

 

x3

 

b3

 

de la ecuación I despejamos el valor de la variable x1

     

x1 = (b1 - a12x2 - a13x3)/a11

 

Reorganizando la ecuación tenemos

 

(b1/a11) - (a12/a11)x2 - (a13/a11)x3 = x1

 

Sustituimos el valor de x1 en la ecuación II:

   

(b1 - a12x2 - a13x3)*a21 /a11+ a22x2 + a23x3 = b2

         

 

(a21/a11)b1 + (a22 - a21 a12/a11)x2 + (a23 - a21 a13/a11)x3 = b2

 

y finalmente en III tenemos :

 

(a31/a11)b1 + (a32 – a31 a12/a11)x2 + (a33 – a31 a13/a11)x3 = b3

 

En forma matricial estas ecuaciones lucen como:

 

1/a11

-a12/a11

-a13/a11

 

b1

 

x1

a21/a11

a22-a21 a12/a11

a23-a21 a13/a11

 

x2

=

b2

a31/a11

a32–a31 a12/a11

a33-a31 a13/a11

 

x3

 

b3

 

Lo que nos da un sistema equivalente como el siguiente.

 

a’11

a’12

a’13

 

b1

 

x1

a’21

a’22

a’23

 

x2

=

b2

a’31

a’32

a’33

 

x3

 

b3

 

y los valores lo calculamos haciendo

 

Dado un valor de k al que llamamos pivote:

 

aij = aij –aik akj/akk para todos los valores de i y j diferentes de k

 

aik = aik/akk para todos los i diferentes de k

 

akj = akj/akk para todos los j diferentes de k

 

akk = 1/akk

 

Si repetimos el procedimiento suponiendo un valor de k = 2 tendremos un sistema.

 

a’11-a’12a’21/a’22

a’12/a’22

a’13-a’12a'23/a’22

 

b1

 

x1

-a’21/a’22

1/a’22

-a’23/a’22

 

b2

=

x2

a’31-a’32a'21/a’22

a’32/a’22

a’33-a’32a'23/a’22

 

x3

 

b3

 

Lo que nos da un sistema equivalente como el siguiente.

 

a’’11

a’’12

a’’13

 

b1

 

x1

a’’21

a’’22

a’’23

 

b2

=

x2

a’’31

a’’32

a’’33

 

x3

 

b3

 

Finalmente si volvemos a repetir el método tendremos

 

a’’’11

a’’’12

a’’’13

 

b1

 

x1

a’’’21

a’’’22

a’’’23

 

b2

=

x2

a’’’31

a’’’32

a’’’33

 

b3

 

x3

 

 

Ejemplo:

 

Determinar la matriz inversa de

 

3

-1

-1

-1

1

0

-1

0

1

 

Primer paso:

 

1/3

1/3

1/3

-1/3

2/3

-1/3

-1/3

-1/3

2/3

 

Segundo paso:

 

½

1/2

1/2

½

3/2

1/2

-1/2

-1/2

1/2

 

Tercer paso:

 

1

1

1

1

2

1

1

1

2

 

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