Calculo de matriz inversa.
Inversa de Shiplay.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
a11 |
a12 |
a13 |
|
x1 |
|
b1 |
a21 |
a22 |
a23 |
|
x2 |
= |
b2 |
a31 |
a32 |
a33 |
|
x3 |
|
b3 |
de la ecuación I
despejamos el valor de la variable x1
x1 = (b1 - a12x2 - a13x3)/a11
Reorganizando la ecuación tenemos
(b1/a11)
- (a12/a11)x2 - (a13/a11)x3
= x1
Sustituimos el valor de x1 en la ecuación II:
(b1 - a12x2 - a13x3)*a21
/a11+ a22x2 + a23x3 = b2
(a21/a11)b1 +
(a22 - a21 a12/a11)x2 +
(a23 - a21 a13/a11)x3 =
b2
y finalmente en III tenemos :
(a31/a11)b1 +
(a32 – a31 a12/a11)x2 +
(a33 – a31 a13/a11)x3 =
b3
En forma matricial estas ecuaciones lucen
como:
1/a11 |
-a12/a11 |
-a13/a11 |
|
b1 |
|
x1 |
a21/a11 |
a22-a21 a12/a11 |
a23-a21 a13/a11 |
|
x2 |
= |
b2 |
a31/a11 |
a32–a31 a12/a11 |
a33-a31 a13/a11 |
|
x3 |
|
b3 |
Lo que nos da un sistema equivalente como el
siguiente.
a’11 |
a’12 |
a’13 |
|
b1 |
|
x1 |
a’21 |
a’22 |
a’23 |
|
x2 |
= |
b2 |
a’31 |
a’32 |
a’33 |
|
x3 |
|
b3 |
y los valores lo calculamos haciendo
Dado un valor de k al que llamamos pivote:
aij = aij –aik akj/akk para todos los
valores de i y j diferentes de k
aik = aik/akk para todos los i
diferentes de k
akj = akj/akk para todos los j
diferentes de k
akk = 1/akk
Si repetimos el procedimiento suponiendo un
valor de k = 2 tendremos un sistema.
a’11-a’12a’21/a’22 |
a’12/a’22 |
a’13-a’12a'23/a’22 |
|
b1 |
|
x1 |
-a’21/a’22 |
1/a’22 |
-a’23/a’22 |
|
b2 |
= |
x2 |
a’31-a’32a'21/a’22 |
a’32/a’22 |
a’33-a’32a'23/a’22 |
|
x3 |
|
b3 |
Lo que nos da un sistema equivalente como el
siguiente.
a’’11 |
a’’12 |
a’’13 |
|
b1 |
|
x1 |
a’’21 |
a’’22 |
a’’23 |
|
b2 |
= |
x2 |
a’’31 |
a’’32 |
a’’33 |
|
x3 |
|
b3 |
Finalmente si volvemos a repetir el método tendremos
a’’’11 |
a’’’12 |
a’’’13 |
|
b1 |
|
x1 |
a’’’21 |
a’’’22 |
a’’’23 |
|
b2 |
= |
x2 |
a’’’31 |
a’’’32 |
a’’’33 |
|
b3 |
|
x3 |
Ejemplo:
Determinar la matriz inversa de
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
Primer paso:
1/3 |
1/3 |
1/3 |
-1/3 |
2/3 |
-1/3 |
-1/3 |
-1/3 |
2/3 |
Segundo paso:
½ |
1/2 |
1/2 |
½ |
3/2 |
1/2 |
-1/2 |
-1/2 |
1/2 |
Tercer paso:
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |