Eliminación Gaussiana
Consideremos que tenemos un sistema lineal
Ax=b, donde la matriz A no tiene las condiciones de ser triangular superior.
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a11 |
a12 |
a13 |
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x1 |
|
b1 |
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a21 |
a22 |
a23 |
|
x2 |
= |
b2 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
x3 |
|
b3 |
Comenzaremos por despejar de la x1 de
la ecuación (I)
b1 - a12x2 -
a13x3
x1 = ------------------
a11
y sustituimos en las ecuaciones II
b1 - a12x2 - a13x3
a21 ------------------ + a22x2
+ a23x3 = b2
a11
agrupando términos semejantes tenemos:
(a22 – a21 a12/a11)x2
+ (a23 – a21 a13/a11) x3
= (b2 - a21 b1/a11)
Ahora sustituimos en la ecuación III
b1 - a12x2 - a13x3
a31 ------------------ + a32x2
+ a33x3 = b3
a11
(a32 – a31 a12/a11)x2
+ (a33 – a31 a13/a11) x3
= (b3 – a31 b1/a11)
Lo cual nos da un nuevo sistema
simplificado dada por
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (I)
a’22x2
+ a’23x3 = b’2 (II’)
a’32x2
+ a’33x3 = b’3 (III’)
donde los valores de a’ij los calculamos como:
a’ij = aij – aik
akj/ akk
b’i = bi – aik
bk/ akk
Si repetimos el procedimiento tendremos un sistema dado como:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (I)
a’22x2
+ a’23x3 = b’2
(II’)
a’’33x3 = b’3 (III’’)
que corresponde a un sistema triangular
superior que podemos solucionar utilizando sustitución
hacia atrás.
Ejemplo.
Calcular el sistema triangular superior utilizando
eliminación gaussiana.
5x1 + 2x2
+ 1x3 = 3
2x1 + 3x2
- 3x3 = -10
1x1 - 3x2
+ 2x3 = 4
Primer paso
5x + 2y + 1z = 3
0 + (11/5)y – (17/5)z = -(56/5)
0 - (17/5)y + (9/5)z =
(17/5)
Segundo paso
5x + 2y + 1z = 3
0x + (11/5)y – ( 17/5)z = -(56/5)
0x -
0y – (38/11)z = -(153/11)
Ejemplo.
Resolver el sistema de
ecuaciones
|
3 |
-1 |
-1 |
|
x |
|
0 |
|
-1 |
1 |
0 |
|
y |
= |
1 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
z |
|
1 |
Aplicando eliminación gaussiana nos queda.
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3 |
-1 |
-1 |
|
x |
|
0 |
|
0 |
2/3 |
-1/3 |
|
y |
= |
1 |
|
0 |
0 |
1/2 |
|
z |
|
3/2 |
Ejemplo.
Un ejemplo de sistema donde es necesario hacer
un cambio de renglón por renglón para que tenga solución es el siguiente
sistema.
|
1 |
2 |
6 |
|
4 |
8 |
-1 |
|
-2 |
3 |
5 |
Aplicando el primer paso de la eliminación
gaussiana tenemos:
|
1 |
2 |
6 |
|
0 |
0 |
-25 |
|
0 |
7 |
17 |
note, que aparece un cero en el elemento 22, lo
cual nos da un sistema sin solución. Permutando los renglones 2 y 3 el sistema
tiene solución.
|
1 |
2 |
6 |
|
-2 |
3 |
5 |
|
4 |
8 |
-1 |